Bei einem gegebenen symmetrischen (dicht definierten) Operator in einem Hilbert-Raum könnte es ziemlich viele selbstadjungierte Erweiterungen geben. Dies könnte bei einem Schrödinger-Operator mit „schlechtem“ Potenzial der Fall sein. Es gibt einen "Kleinsten" (Friedrichs) und einen Größten (Krein), und alle anderen liegen gewissermaßen dazwischen. Betrachtet man die entsprechenden Schrödinger-Gleichungen, gibt es zu jeder dieser Erweiterungen eine (völlig andere) einheitliche Gruppe, die sie löst. Meine Frage ist: Was ist die physikalische Bedeutung dieser Erweiterungen? Wie unterscheiden Sie zwischen den verschiedenen einheitlichen Gruppen? Gibt es eine, die physikalisch "relevant" ist? Warum wird so oft die Erweiterung Friedrichs gewählt?
Der Differentialoperator selbst (definiert auf einer Domäne) codiert lokale Informationen über die Dynamik des Quantensystems. Seine selbstadjungierten Erweiterungen hängen genau von der Wahl der Randbedingungen der Zustände ab, auf die der Operator einwirkt, also von globalen Informationen über die Kinematik des physikalischen Systems.
Dies gilt sogar völlig abstrakt, mathematisch: In einem präzisen Sinne werden die selbstadjungierten Erweiterungen symmetrischer Operatoren (unter milden Bedingungen) durch die Wahl von Randdaten klassifiziert.
Weitere Informationen dazu werden hier gesammelt
http://ncatlab.org/nlab/show/self-adjoint+extension
In den dortigen Referenzen zu Anwendungen in der Physik finden Sie Beispiele für die Wahl von Randbedingungen in der Physik und wie sie zu selbstadjungierten Erweiterungen symmetrischer Hamilton-Operatoren führen. Und siehe dort den Artikel von Wei-Jiang für den ganz allgemeinen Begriff der Randbedingungen.
Eine typische Interpretation der selbstadjungierten Erweiterungen für den freien Hamiltonian in einem Liniensegment ist, dass Sie eine vierparametrische Familie möglicher Randbedingungen erhalten, um die Einheitlichkeit zu bewahren. Einige von ihnen "prallen" einfach auf die Welle, andere "teletransportieren" sie von einer Wand zur anderen. Daher ist es auch üblich, sich dieses Segment als einen Kreis vorzustellen, in dem Sie einen Punkt entfernt haben und dann in der Stimmung sind, „Punktwechselwirkungen“ oder Verallgemeinerungen von Dirac-Delta-Potentialen zu studieren. Das Thema taucht von Zeit zu Zeit wieder auf, aber sicherlich können einige alte Referenzen ausgegraben werden, beginnend mit M. Carreau. Vier-Parameter-Punkt-Wechselwirkung in 1d-Quantensystemen. Journal of Physics A, 26:427, 1993. In einigen Arbeiten zitiere ich auch Seba und Polonyi.
Manchmal werden die Erweiterungen mit der Frage nach dem Definitionsbereich des Betreibers und dann mit dem Vorhandensein von Anomalien verknüpft. Hier Phys.Rev.D34: 674-677, 1986 , " Anomalies in Conservation Laws in the Hamiltonian Formalism ", erneut aufgegriffen von demselben Autor, JG Esteve, später in Phys.Rev.D66:125013,2002 ( http://arxiv .org/abs/hep-th/0207164 ). Diese Themen sind seit Jahren an der Universität Zaragoza lebendig; Einige verwandte Materialien, vielleicht mehr über Randbedingungen als über Erweiterungen, sind http://arxiv.org/abs/0704.1084 , http://arxiv.org/abs/quant-ph/0609023 , http://arxiv.org/ abs/0712.4353
András Bátkai
Emilio Pisanty