Plotten der Bodenspur einer elliptischen Umlaufbahn mit Neigungswinkel

Question

Plotten der Bodenspur einer elliptischen Umlaufbahn mit Neigungswinkel

Astrojunge

Ich versuche, die Bodenbahn einer elliptischen Umlaufbahn mit einem beliebigen Neigungswinkel von zu projizieren $\Delta i$ und einen Zeitraum von $T$ . Ich habe alle Parameter der Umlaufbahn (Länge der großen Halbachse, Länge der kleinen Halbachse, Exzentrizität, Apogäums- und Perigäumsgeschwindigkeit, Energie usw.).

Der Ansatz, den ich wählte, bestand darin, eine Position des Satelliten in der elliptischen Umlaufbahn auf einer XY-Ebene zu zeichnen. Ich iteriere durch die Zeitdomäne $t \in [0,\textrm{T}]$ wobei T die Periode der Umlaufbahn mit einem bestimmten Zeitschritt von ist $\Delta t$ . Ich berechne für jede Zeit die mittlere Anomalie und die Größe der Entfernung zwischen dem Satelliten und dem zentralen Körper, $r$ . Wenn der Positionsvektor des Satelliten in Bezug auf den Mittelkörper auf der großen Halbachse projiziert wird, wird die Länge dieses projizierten Vektors definiert als $x$ . Nach dem Finden $x$ , fand ich die vertikale Projektion desselben Positionsvektors, wodurch das Dreieck unten gebildet wurde.

Zuerst muss ich die mittlere Anomalie als Funktion der Zeit finden. Mein Code funktioniert derzeit nicht, aber theoretisch löse ich (aus Curtis ' Orbital Mechanics for Engineering Students, 1st Edition ) numerisch nach einer Größe, die als gekennzeichnet ist $E$ unter Verwendung der Gleichung für die mittlere Anomalie (Gleichung zwischen 3.12 und 3.13 für diejenigen, die das Buch haben), gegeben als: $M_e = E - e\sin(E)$ . Von dort löse ich numerisch nach wahrer Anomalie unter Verwendung von Gl. 3.7a:

$M_e = 2\arctan{(\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}\tan{\theta/2})} - \frac{e\sqrt{1-e^2}\sin\theta}{1+e\cos\theta}$ .

Nachdem ich diese Entfernungen gefunden hatte, fand ich die Kugelkoordinaten des Satelliten in Bezug auf das Zentrum des Mittelkörpers. $r$ wäre $r_p + x$ , $\phi$ wäre einfach die Ergänzung von $\Delta i$ . $\theta$ wäre die wahre Anomalie.

Danach zeichne ich (x,y) mit sphärisch-kartesischer Transformation, aber ich glaube einfach nicht, dass es so einfach ist. Zum einen versuche ich im Wesentlichen, eine 3D-Kurve auf eine Kugel und diese dann auf eine 2D-Ebene zu projizieren. Wenn jemand Quellen / Lesematerial hat, wie man diese Mathematik tatsächlich durchführt, wäre das fantastisch. Ich habe auf dieses Kapitel aus einem Buch über Satelliten verwiesen: http://fgg-web.fgg.uni-lj.si/~/mkuhar/Pouk/SG/Seminar/Vrste_tirnic_um_Zemljinih_sat/Orbit_and_Ground_Track_of_a_Satellite-Capderou2005.pdf . Leider kann ich nicht auf andere Gleichungen verweisen, auf die das Buch verweist, bis ich es bekomme.

Ich habe den Code noch nicht zum Laufen gebracht, daher weiß ich nicht, wie meine Diagramme aussehen, aber aus vorläufigen Daten scheint es nicht in die richtige Richtung zu gehen (z. B. True Anomaly ( $\theta$ ) sollte von 0 bis gehen $2\pi$ mit zunehmender Zeit, aber das ist nicht das, was ausgegeben wird.

EDIT: Tippfehler und zur Verdeutlichung möchte ich keine externen Pakete wie STK verwenden. Ich möchte in der Lage sein, diese Handlungen physisch zu entwickeln.

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Plotten der Bodenspur einer elliptischen Umlaufbahn mit Neigungswinkel

Pulsar · Answer 1

Lassen Sie uns zunächst ein rechtshändiges Koordinatensystem an die Umlaufbahn anhängen, das durch die Einheitsbasisvektoren definiert ist $(\boldsymbol{e}_x, \boldsymbol{e}_y, \boldsymbol{e}_z)$ , mit $\boldsymbol{e}_x$ Und $\boldsymbol{e}_y$ in der Orbitalebene und $\boldsymbol{e}_x$ in Richtung Periapsis. Berechnen Sie zuerst die exzentrische Anomalie $E$ von der mittleren Anomalie $M$ :

M = \frac{2 π T}{T} = E - Sünde E,

$M = \frac{2\pi t}{T} = E - \sin E,$ unter der Annahme, dass sich der Satellit in der Periapsis bei befindet

t = 0

$t=0$ . Der Positionsvektor des Satelliten ist dann gegeben durch

R = A (\cos E - e) e_{X} + B Sünde E e_{j} .

$\boldsymbol{r} = a(\cos E -e)\,\boldsymbol{e}_x + b\sin E\,\boldsymbol{e}_y.$ Es besteht keine Notwendigkeit, die wahre Anomalie zu berechnen.

Als nächstes müssen wir die allgemeine Transformation vom Orbitalrahmen zu einem gegebenen Referenzrahmen finden, definiert durch $(\boldsymbol{e}_x', \boldsymbol{e}_y', \boldsymbol{e}_z')$ . Dies kann unter Verwendung von drei Euler-Winkeln erfolgen $\Omega$ , $i$ , Und $\omega$ :

$\Omega$ ist die Länge des aufsteigenden Knotens im ( $\boldsymbol{e}_x'$ , $\boldsymbol{e}_y'$ ) Ebene, dh der Winkel gemessen von $\boldsymbol{e}_x'$ zum aufsteigenden Knoten;
$i$ ist die Neigung der Umlaufbahn mit der ( $\boldsymbol{e}_x'$ , $\boldsymbol{e}_y'$ ) Ebene;
$\omega$ ist das Argument der Periapsis, dh der vom aufsteigenden Knoten zur Periapsis gemessene Winkel.

Siehe auch den Wiki-Artikel zu Orbitalelementen . Die Transformation ist dann durch drei Drehungen gegeben:

(\begin{matrix} e_{X} \\ e_{j} \\ e_{z} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos ω & Sünde ω & 0 \\ - Sünde ω & \cos ω & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos ich & Sünde ich \\ 0 & - Sünde ich & \cos ich \end{matrix}) (\begin{matrix} \cos Ω & Sünde Ω & 0 \\ - Sünde Ω & \cos Ω & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} e_{X}^{'} \\ e_{j}^{'} \\ e_{z}^{'} \end{matrix})

$\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x\\ \boldsymbol{e}_y\\ \boldsymbol{e}_z \end{pmatrix} \!=\! \begin{pmatrix} \cos\omega & \!\sin\omega & \!0 \\ -\sin\omega & \!\cos\omega & \!0 \\ 0 & \!0 & \!1 \end{pmatrix}\! \begin{pmatrix} 1 & \!0 & \!0 \\ 0 & \!\cos i & \!\sin i \\ 0 & \!-\sin i & \!\cos i \end{pmatrix}\! \begin{pmatrix} \cos\Omega & \!\sin\Omega & \!0 \\ -\sin\Omega & \!\cos\Omega & \!0 \\ 0 & \!0 & \!1 \end{pmatrix}\! \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x'\\ \boldsymbol{e}_y'\\ \boldsymbol{e}_z' \end{pmatrix}$ oder ausdrücklich,

e_{X} = (\cos Ω \cos ω - Sünde Ω Sünde ω \cos ich) e_{X}^{'} + (Sünde Ω \cos ω + \cos Ω Sünde ω \cos ich) e_{j}^{'} + (Sünde ω Sünde ich) e_{z}^{'} e_{j} = (- \cos Ω Sünde ω - Sünde Ω \cos ω \cos ich) e_{X}^{'} + (- Sünde Ω Sünde ω + \cos Ω \cos ω \cos ich) e_{j}^{'} + (\cos ω Sünde ich) e_{z}^{'} e_{z} = (Sünde Ω Sünde ich) e_{X}^{'} + (- \cos Ω Sünde ich) e_{j}^{'} + \cos ich e_{z}^{'} .

$\boldsymbol{e}_x = (\cos\Omega\cos\omega - \sin\Omega\sin\omega\cos i)\,\boldsymbol{e}_x' + (\sin\Omega\cos\omega + \cos\Omega\sin\omega\cos i)\,\boldsymbol{e}_y' + (\sin\omega\sin i)\,\boldsymbol{e}_z'\\[1em] \boldsymbol{e}_y = (-\cos\Omega\sin\omega - \sin\Omega\cos\omega\cos i)\,\boldsymbol{e}_x' + (-\sin\Omega\sin\omega + \cos\Omega\cos\omega\cos i)\,\boldsymbol{e}_y' + (\cos\omega\sin i)\,\boldsymbol{e}_z'\\[1em] \boldsymbol{e}_z = (\sin\Omega\sin i)\,\boldsymbol{e}_x' + (-\cos\Omega\sin i)\,\boldsymbol{e}_y' + \cos i\,\boldsymbol{e}_z'.$ Dadurch können Sie sich ausdrücken

r

$\boldsymbol{r}$ in den Referenzrahmenkoordinaten. Stellen Sie für den projizierten Pfad einfach die

z^{'}

$z'$ Komponente auf Null.

notovny · Answer 2

Wie verändert sich True Anomaly in Ihren Ergebnissen? Wenn es von abweicht $-\pi$ Zu $\pi$ , es könnte in Ordnung sein, und lediglich ein Ergebnis davon, dass der Computer die Bereiche der verschiedenen trigonometrischen Funktionen automatisch einschränkt.

Sie sollten True Anomaly nicht numerisch lösen müssen ( $\theta$ ) von der mittleren Anomalie (M). Es ist ziemlich einfach, es von der exzentrischen Anomalie (E) und der orbitalen Exzentrizität (e) zu ziehen, sobald Sie diese Werte haben.

Als ich vor ein paar Jahren an einem Programm arbeitete, um die Kepler-Gleichungen auszuführen, gab es mehrere Dinge, die ich tat: Zuallererst korrigierte ich für elliptische Umlaufbahnen den Wert, den ich für die mittlere Anomalie hatte, in den Bereich $(-\pi,\pi]$ , was eine stärkere Wiederverwendung des Codes ermöglichte, als ich die Version erstellte, die sich mit hyperbolischen Bahnen befasste.

Unter dieser Annahme wird auch die Reichweite der exzentrischen Anomalie sein $(-\pi,\pi]$ , mit den gleichen Zeichen wie Mean Anomaly.

Und das ermöglicht es Ihnen, True Anomaly auf der elliptischen Umlaufbahn mit der folgenden Gleichung zu ziehen:

θ = \pm A R C T A N (\frac{\sqrt{1 + e}}{\sqrt{1 - e}} T A N \frac{E}{2})

$\theta = \pm arctan\left({\frac{\sqrt{1+e}}{\sqrt{1-e}}tan\frac{E}{2}}\right)$

Wählen Sie den Wert von „True Anomaly“ aus, der das gleiche Vorzeichen hat wie die exzentrische Anomalie. Das Ergebnis wird, wie bei den anderen Anomalien, im Bereich liegen $(-\pi , \pi]$

Wenn Sie wirklich den Wert von True Anomaly im Bereich brauchen $(0,2\pi)$ , können Sie nachträglich hinzufügen $2\pi$ zu allen negativen Werten von $\theta$ .

Plotten der Bodenspur einer elliptischen Umlaufbahn mit Neigungswinkel

Astrojunge

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Pulsar

notovny

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