Kinetische Energie in zentraler Kraftbewegung

Meine Frage ist, wie ich die Geschwindigkeit eines Teilchens auf einer elliptischen Flugbahn erfahren kann, wenn ein Teilchen von einem Potential beeinflusst wird

$$\begin{equation} U(r) = -\frac{k}{r} \end{equation}$$

Ich habe ein Massenteilchen$m$Bewegung unter der Wirkung von$F(r) = -k/r^2$denn, offensichtlich in Übereinstimmung mit der Gravitationskraft,$k > 0$. In einem Punkt genannt$P$entfernt$a$vom Ursprung ist die Geschwindigkeit$v_0 = \frac{k}{2ma}$und die Geschwindigkeit in diesem Moment steht senkrecht auf dem Ortsvektor in$P$.

Ich habe das wirksame Potenzial gefunden

$$\begin{equation} U_{eff} = \frac{ka}{4r^2} - \frac{k}{r} \end{equation}$$

Damit ist der Drehimpuls dieses Systems eine Konstante der Bewegung. Dann, wenn Sie das haben, ist die Gesamtenergie auch eine Konstante der Bewegung, weil die Kraft unabhängig von der Zeit ist, die wir finden können$E$verwenden

$$\begin{equation} E = \frac{mv_0^2}{2} + U_{eff}(a) \end{equation}$$

Aber dann ist mein Problem, dass ich bekomme, dass die kinetische Energie für beide gleich ist$r_{máx} = a$und für die$r_{mín} = a/3$die Apsidenabstände dieser Umlaufbahn. Ist die Annahme, dass$U_{eff}(r_{máx}) = U_{eff}(r_{mín})$falsch ? Ich verwende dies wegen des Plots der Gleichung der$U_{eff}$. Wir haben zwei Werte, die befriedigen$U_{eff}(r) = -3k/4a = U_{eff}(a)$.

Wozu dient die kinetische Energie?$r_{mín}$?