Potentielle Energie in E2f=(mc2)2+(pc)2Ef2=(mc2)2+(pc)2E_f^2=(mc^2)^2+(pc)^2?

Die von Ihnen zitierte Formel enthält nicht die potentielle Energie, sie gilt für ein freies Teilchen (dh ein Teilchen, das nicht von einem externen Potential beeinflusst wird). Sie können es mit der klassischen Mechanik verbinden, indem Sie es für kleine Werte von auswerten$p$(etwas präziser:$p \ll c$):

$$E = \sqrt{\left(mc^2\right)^2 + p^2 c^2} = c \sqrt{m^2c^2 + p^2} = \cdots$$

$$\cdots = mc^2 \sqrt{1 + \frac{p^2}{m^2 c^2}} \approx mc^2 \left( 1 + \frac{p^2}{2 m^2 c^2} \right) = \cdots$$

$$\cdots = \text{constant} + \frac{p^2}{2m} = \text{constant} + \frac{1}{2} m v^2$$

Hier sehen wir, dass sich die relativistische Formel in der nichtrelativistischen (dh kleinen Geschwindigkeiten) Grenze auf die klassische reduziert, abgesehen von einer konstanten Energie, die mit der Masse des Objekts verbunden ist, was ein rein relativistisches Konzept ist.

Die Konstante ist übrigens$mc^2$, und das erklärt, warum die Formel$E=mc^2$ist so berühmt, weil es eines der erstaunlichsten Konzepte der speziellen Relativitätstheorie einfängt: ein Objekt, nur um zu existieren und Masse zu haben$m$, hat eine Energie$E=mc^2$, dh die Ruheenergie.

Die Energie in Ihrer Gleichung gilt für einen freien starren Körper ohne Potential. Wir können dies sehen, wenn wir mit einem Lagrange-Operator mit einer Skalarfunktion beginnen,$\Phi(q)$, und merke dir$\gamma$ist eine Funktion von$\dot{q}$,

$$L=T-V=-\gamma^{-1} (\dot{q}) \, mc^2-\Phi(q)$$ Dann, wenn wir den Schwung finden $$\pi=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=\gamma^{-2}\frac{\partial \gamma}{\partial \dot{q}}mc^2=\gamma m\dot{q}$$ Somit ist der Hamiltonian, $$H=\pi\dot{q}-L=\gamma m\dot{q}^2+\gamma^{-1} (\dot{q}) \, mc^2 + \Phi(q)$$ was nach Herausrechnen ergibt $\gamma mc^2$, $$H=\gamma mc^2(\frac{\dot{q}^2}{c^2}+\gamma^{-2})+\Phi(q)=\gamma mc^2+\Phi$$ Der erste Term ist der, den Sie mögen, und der zweite ist die potenzielle Energie, wenn Sie möchten.

In der in der gestellten Frage angegebenen Standardformel ist die potentielle Energie Null. Die Formel gilt nur für ein freies Teilchen.

Für ein geladenes Teilchen der Ladung Q in einem elektromagnetischen Feld lautet die korrekte Formel für die Gesamtenergie (kinetische plus potentielle) Energie

$$E= c\sqrt{(mc)^2 + (p+QA)^2} -QA_0,$$ (z.B, $Q=-e$für ein Elektron), wo $A$und $A_0$sind der Raum- (Vektor-) Teil und der Zeit- (Skalar-) Teil des elektromagnetischen Eichpotentials. Hier $-QA_0$ist die potentielle Energie.

Für Gravitationskräfte ergibt sich die richtige Formel aus der Lösung$E=p_0$der Gleichung$G(p,p_0)=const$, wo$G$ist eine Lorentzsche quadratische Form (deren Koeffizienten den metrischen Tensor definieren) im Raumteil$p$und der Zeitteil$p_0$des relativistischen 4-Impulsvektors. Hier kann eine potentielle Energie nur in einem nichtrelativistischen Grenzfall identifiziert werden.

Wenn beide Arten von Kräften vorhanden sind, ist die richtige Formel durch die Lösung gegeben$E=cp_0$der Gleichung

$$G(p+QA,p_0+QA_0)=0$$ . Spezialisierung der quadratischen Form auf $G(p,p_0)=const(p_0^2-p^2)$ergibt die obige Formel.

Potentielle Energie ist die Eigenschaft eines Systems, nicht einzelner Teilchen. Auch in der klassischen Mechanik gilt dies. Die übliche Art, die potenzielle Energie von etwas zu sagen, kann als Schreibmissbrauch angesehen werden.

Also für ein Teilchen$E=\gamma m c^2$beinhaltet keine potentielle Energie, aber die Energie des Gesamtsystems (beispielsweise eine Punktladung und ein Kondensator) beinhalten die potentielle Energie. Die potentielle Energie verschiebt die Ruhemasse des Systems aus der Summe der Massen einzelner Komponenten (zusätzlich zum Effekt der Relativbewegung).

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Ein anderer Standpunkt ist, dass potentielle Energie in Feldern gespeichert wird, sodass die Verschiebung der Ruhemasse auf die Energie des Feldes zurückzuführen ist.

Die Gesamtenergie ist die Ruheenergie plus die kinetische Energie,$E_f=γmc^2$, können wir davon ausgehen, dass der Term PC gegen Null geht und daher die potentielle Energie dann die Gesamtenergie des Objekts in Ruhe ist. Ihre Frage klar darzustellen, inspiriert uns, über die restliche Energie hinauszublicken$E=m_0c^2$des Objekts und beachten Sie, dass mit zunehmendem Impuls die kinetische Energie des Objekts viel wichtiger wird als die Ruheenergie.

Schauen wir uns Energie und Impuls in Lorentz-Transformationen an

Quelle des Folgenden: Von Michael Fowler, University of Virginia

Wir haben eine Formel für die Gesamtenergie E = KE + Ruheenergie,

So können wir sehen, wie sich die Gesamtenergie mit der Geschwindigkeit ändert.

Der Impuls ändert sich mit der Geschwindigkeit, da

Wie hängt die Gesamtenergie eines Teilchens vom Impuls ab?

Es erweist sich als nützlich, eine Formel für E bezüglich p zu haben.

Jetzt

so

daher finden wir unter Verwendung von p = mv

Wenn p sehr klein ist, gibt dies

die übliche klassische Formel.

Wenn p sehr groß ist, also$c^2p^2$>>$m_0^2c^4$, lautet die Näherungsformel

$E=cp$

{Meine Notiz hier hinzugefügt. Als$p$, ist der Impuls in Ihrer Gleichung sehr groß und als$mc^2$wird vernachlässigbar und wir können es im Wesentlichen aus Ihrer Gleichung streichen$E_f^2=(mc^2)^2+(pc)^2$und bleiben übrig$E^2=(pc)^2$& {fallen lassen$(mc^2)^2$} und links mit$E=pc$}

Die hohe kinetische Energiegrenze: Ruhemasse wird unwichtig!

Beachten Sie, dass diese hohe Energiegrenze nur die Energie-Impuls-Beziehung ist, die Maxwell für Licht als wahr für alle gefunden hat$p$. Das konnte nur für alle gelten$p$wenn$m_0^2c^4=0$, das ist,$m_0=0$.

Licht besteht tatsächlich aus „Photonen“ – Teilchen mit einer „Ruhemasse“ von null … Die „Ruhemasse“ eines Photons ist bedeutungslos, da sie niemals in Ruhe sind – die Energie eines Photons

ist von der Form$0/0$, seit$m_0=0$und$v=c$, so "$m$“ kann immer noch ungleich Null sein. Das heißt, die Masse eines Photons ist wirklich alles KE-Masse.

Abschließend ... Wir müssen wirklich gründlich darüber nachdenken, wenn wir Photonen für Quantencomputer stoppen.

Aber um Ihre Frage zu beantworten Gesamtenergie = potentielle Energie + kinetische Energie

Seit$pc$= die kinetische Energie und als$p$gegen Null geht die Gesamtenergie = potentielle Energie und somit bleibt nur noch$m_0c^2$, die Restenergie. Ich hoffe, die Betrachtung des Impulses von Null bis zu einem großen Wert gibt Ihnen ein klareres Verständnis dafür, warum die Ruheenergie die potentielle Energie ist.

In Bezug auf Ihre Frage. Wo ist nun potentielle Energie, wenn$E_f=\gamma mc^2$ist die Gesamtenergie?

$E_f^2=(m_0c^2)^2+(pc)^2$

$E_f^2=(m_0c^2)^2+(pc)^2$

$E_f=\sqrt{(m_0c^2)^2+(pc)^2}=\gamma mc^2$

$(\sqrt{(m_0c^2)^2+(pc)^2})^2=(\gamma mc^2)^2$

$(m_0c^2)^2+(pc)^2 = (\gamma mc^2)^2$

$(m_0c^2)^2=(\gamma mc^2)^2-(pc)^2$

$m_0c^2 = \sqrt{(\gamma mc^2)^2-(pc)^2}$

Schließlich ist die potentielle Energie oder Ruheenergie erwartungsgemäß die Gesamtenergie$\gamma mc^2$abzüglich der kinetischen Energie. Vielleicht suchen Sie nach der potenziellen Energie in Form von Gesamtenergie und Impuls. {Bitte beachten Sie, dass es wichtig war, die Massen zu qualifizieren$m_0$Ruhemasse u$m_v$eine bewegte Masse des Impulses. Die Ruhemasse wird eine Konstante sein, während die Masse des Impulsterms sich ändern wird, wenn sich die Geschwindigkeit ändert, und zwar extrem, wenn v->c}

$m_0c^2 = (\gamma mc^2)-(pc) = (\gamma mc^2)-(m_vvc)$

Die meisten der hier gegebenen Antworten sind "nicht einmal falsch", weil sie einen irrelevanten Punkt ansprechen. Offensichtlich betrachten wir ein Objekt, das sich nicht in einem externen Potential bewegt, daher stellt sich die Frage, wie die Differenz der gesamten und der kinetischen Energie zu interpretieren ist. Die Quantität$m c^2$ist die Summe der potentiellen und kinetischen Energie des Systems, das nur aus dem Objekt in seinem Ruhesystem besteht. Die Gesamtenergie in einem Rahmen, in dem sie eine Geschwindigkeit von hat$v$ist$\gamma m c^2$, die kinetische Energie von$(\gamma - 1)m c^2$bezieht sich nur auf die kinetische Energie, wenn sich ihr Massenschwerpunkt bewegt.

Beachten Sie, dass die Aufspaltung der inneren Energie von$mc^2$im kinetischen Teil und ein potentieller Teil ist willkürlich. Nehmen Sie zB die Van-der-Waals-Wechselwirkung zwischen Atomen. die Gesamtenergie von zwei Atomen in einer Entfernung$R$auseinander hängt davon ab$R$, abzüglich der Ableitung bzgl$R$ist die Van-der-Waals-Kraft. Während wir diese Energie die potentielle Energie der beiden Atome nennen können, kann man sie bei Betrachtung der Elektronen in beiden Atomen in einen kinetischen Anteil und einen potentiellen Anteil aufteilen.