Potentielle Energie in der Speziellen Relativitätstheorie

Beginnen wir mit der Newtonschen Mechanik. Von den fundamentalen Naturkräften ist die Gravitation die einzige, die überhaupt von der Newtonschen Mechanik gehandhabt werden kann. Die Newtonsche Mechanik kann mit Elektromagnetismus nicht umgehen. Elektromagnetismus ist von Natur aus relativistisch (dh Maxwells Gleichungen machen nur im Zusammenhang mit SR Sinn, nicht mit der Galileischen Relativitätstheorie).

Gehen wir nun von der Newtonschen Näherung zu SR über. Wir verlieren die Fähigkeit, die Schwerkraft zu modellieren, da dies GR erfordern würde. Wir erlangen die Fähigkeit, Elektromagnetismus zu modellieren. Beim Elektromagnetismus haben wir kein wirklich nützliches Konzept einer skalaren potentiellen Energie$q\Phi$, wo$\Phi$ist das elektrische Potential. Der Grund dafür ist, dass zwar die Gebühr$q$ist ein relativistischer Skalar, das elektrische Potential$\Phi$ist kein relativistischer Skalar, sondern die zeitartige Komponente eines Vierervektors. Die konservierte Energie in Maxwells Gleichungen ist nicht wirklich die Energie eines Punktteilchens in einem externen Feld, es ist die Energie des elektromagnetischen Felds selbst, die von Energiedichten proportional zu abhängt$E^2$und$B^2$.

Ich werde offenlegen, was ich verstanden habe.

In der klassischen Mechanik$E=T+U$. Da für ein freies Teilchen in SR$E=\sqrt{p^2+m^2}$(hier$c=1$). Wir könnten versuchen, potentielle Energie einzuführen als:$E-U=\sqrt{p^2+m^2}$. Dies wäre jedoch keine kovariante Gleichung.

Also müssen wir den 4-Vektor verwenden$Q^\mu=(U, \textbf{Q})$, das ist der potenzielle Viererimpuls während$\textbf{Q}$wird nur als potentieller Impuls bezeichnet .

Wenn wir subtrahieren$Q^\mu$zu$p^\mu=(E,\textbf{p})$, wir bekommen:

$E-U=\sqrt{(\textbf{p}-\textbf{Q})^2+m^2}$

Das potentielle Momentum ist eng mit dem Aharonov-Bohm-Effekt verbunden .

Auf diese Weise wird potentielle Energie eingeführt, die in Eichtheorien verwendet wird . Es gibt zwei weitere mögliche Wege: für die Schwerkraft, indem man die Raum-Zeit-Krümmung verwendet oder annimmt, dass die potentielle Energie ein Skalarfeld (Higgs-Feld) ist.

In der speziellen Relativitätstheorie lautet die Bewegungsgleichung in galiläischen Koordinaten:

$$\frac{\text{d}\boldsymbol{p}}{\text{d}t} - \boldsymbol{F} = \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{m\boldsymbol{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right) - \frac{\partial V_0}{\partial \boldsymbol{x}} = 0$$

Dies sind die Euler-Lagrange-Gleichungen:

$$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \boldsymbol{v}}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \boldsymbol{x}} = 0$$

für eine Lagrange-Funktion gegeben durch:

$$\mathcal{L} = -mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-V_0$$

In ganz allgemeinen Koordinaten hätten wir:

$$\mathcal{L} = -mc^2\sqrt{-g_{\mu\nu}\frac{\text{d}x^\mu}{\text{d}x^0}\frac{\text{d}x^\mu}{\text{d}x^0}}- V_\alpha \frac{\text{d}x^\alpha}{\text{d}x^0}$$

wobei das "Potenzial" jetzt ein Lorentz-Vektor-Potential ist. Die Aktion wird sein:

$$S_{AB} = -mc \int_A^B \text{d}s - \int_A^B \frac{V_\alpha}{c} \text{d}x^\alpha$$

was Lorentz-invariant ist und die Bewegungsgleichungen lauten:

$$m\left(\frac{1}{c}\frac{\text{d}u^\alpha}{\text{d}\tau} + \Gamma^\alpha_{\mu\nu}u^\mu u^\nu \right) = \frac{1}{c}F^\alpha$$

wo$\text{d}\tau = \text{d}s/c$ist die Eigenzeit (ein Lorentz-Skalar). Die Energie (zeitlicher Anteil des Energie-Impuls-Vektors) wird sein:

$$\mathcal{H} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}^a}\dot{x}^a -\mathcal{L}= E = \sqrt{m^2c^4 + \|\boldsymbol{p}c-\boldsymbol{V}\|^2} + V_0$$