"QFT ist eine einfache harmonische Bewegung, die auf zunehmende Abstraktionsebenen gebracht wird"

Die Hauptidee ist, dass Sie ein kompliziertes interagierendes oder gekoppeltes System nehmen und seine Lösung als Summe nicht interagierender oder freier Modi schreiben können. Auch in der klassischen Mechanik, wenn man eine lineare Kette hat$N$Oszillatoren kann man zeigen, dass die allgemeine Lösung eine Summe von ist$N$Normalmodi, von denen jeder ein einfacher harmonischer Oszillator ist. In der Quantenfeldtheorie können wir die Felder auch als Summen von Modi schreiben, wobei sich jeder Modus wie ein harmonischer Quantenoszillator verhält und Energie in einer ganzzahligen Anzahl von Klumpen der Größe aufnehmen kann$\hbar\omega$. Im zweiten Quantisierungsformalismus werden diese Klumpen von Operatoren erzeugt oder vernichtet, die auf Vakuum wirken, und dies wird als Erzeugung oder Vernichtung von Partikeln interpretiert.

Betrachten Sie als konkretes Beispiel eine lineare Kette von (wechselwirkenden) Atomen, deren Hamilton-Operator ist

$$H=\sum_i\left[\frac{p_i^2}{2m}+\frac 12k(x_{i+1}-x_i)^2\right]$$ Nach Fourier-Transformation sowohl der Orte als auch der Impulse kann der Hamilton-Operator im reziproken Raum geschrieben werden als $$H=\sum_i\left[\frac{\tilde p_i\tilde p_{-i}}{2m}+\frac 12\omega_i^2\tilde x_i\tilde x_{-i}\right].$$ Durch die Definition der Operatoren $$a_i=\sqrt{\frac{m\omega_i}{2\hbar}}(\tilde x_i+i\tilde p_i/m\omega_i),\quad a_i^\dagger=\sqrt{\frac{m\omega_i}{2\hbar}}(\tilde x_{-i}-i\tilde p_{-i}/m\omega_i),$$ Der Hamiltonian kann auch geschrieben werden als $$H=\sum_{i=1}^N\hbar\omega_i(\hat a^\dagger_i \hat a_i+1/2),$$ das ist die Summe von $N$ungekoppelte harmonische Quantenoszillatoren. Jeder $i$in obiger Gleichung eine Mode bzw. einen Oszillator darstellen und gemäß zweiter Quantisierung die $n$te Anregung dieses Modes ist als Haben zu interpretieren $n$Teilchen, die wir in diesem Beispiel insbesondere Phononen nennen . Derselbe Ansatz kann für ein generisches Feld durchgeführt werden. Sie transformieren das Feld Fourier und zeigen, dass es als Summe über Moden geschrieben werden kann. Diese Moden entkoppeln im Hamiltonoperator und jede von ihnen ergibt einen harmonischen Oszillator. Die allgemeine Lösung ist daher eine lineare Überlagerung harmonischer Oszillatoren. Wenn wir diese Oszillatoren quantisieren, quantisieren wir auch das Feld selbst.

Wenn Sie den Oszillator quantisieren, erhalten Sie eine natürliche Partikelinterpretation. Wenn Sie stattdessen zu einer Feldtheorie erweitern, wird der Oszillator zu einem klassischen Klein-Gordon-Feld, wobei die Frequenz zur Masse wird. Wenn Sie das jetzt quantisieren, erhalten Sie wieder eine Teilcheninterpretation, aber das Feld ist eine lineare Kombination von Leiteroperatoren, sodass die Teilchenzahl zu einer anderen Observablen wird. (Dies hängt damit zusammen, wie die Relativitätstheorie Sie daran hindert, an einer Theorie eines Teilchens festzuhalten.) Bogoliubov-Transformationen bieten unterschiedliche "Perspektiven" auf die Teilchenzahl, analog zu Änderungen in der Wahl der Phasenraumkoordinaten eines klassischen Oszillators.

Wenn Sie die Theorie nun auf mehrere Teilchenarten erweitern, können Sie Ihre Oszillatoren koppeln, um Wechselwirkungen zu bezeichnen, die Teilchen erzeugen oder zerstören, analog zur Energie, die zwischen klassischen Oszillatoren übertragen wird. Wenn Sie Ihre Lagrange-Funktion Terme gewinnen lassen, die die EOMs nichtlinear machen, haben Sie VEVs ungleich Null wie beim Higgs-Effekt. Dies ist analog zur anharmonischen Schwingung.