QM Basis Transformation durch Unitary Operator

Ich habe eine kurze Frage zu Basistransformationen im QM. Angenommen, ich habe zwei Basen { | ϕ N ⟩ } Und { | ϕ N ' ⟩ } . Der Kürze halber können wir sie orthonormal machen. Ich weiß, dass jeder Zustandsvektor in Bezug auf beide Basen erweitert werden kann:

| ψ ⟩ = ∑ N | ϕ N ⟩ ⟨ ϕ N | ψ ⟩ = ∑ N | ϕ N ' ⟩ ⟨ ϕ N ' | ψ ⟩

Ich verstehe auch, dass das Operator-Mapping | ϕ N ⟩ Zu | ϕ N ' ⟩ , U ^ , ist ein unitärer Operator.

Nun wurde mir immer gesagt, dass eine Änderung der Basis den Zustandsvektor nicht ändert. Wenn ich meinen Zustandsvektor in der Basis ausgedrückt habe { | ϕ N ⟩ } und möchte es in Begriffen ausdrücken { | ϕ N ' ⟩ } Ich sollte einfach die Identitätstransformation anwenden 1 ^ = ∑ N | ϕ N ' ⟩ ⟨ ϕ N ' | und ich werde die Basis geändert haben.

Bei diesem Vorgang ändert sich die entsprechende Spaltenmatrix, als ob eine Einheitsmatrix angewendet wurde. Aus dieser Beobachtung schließen Zettilis Buch Seite 115-116 und die Vorlesungsunterlagen eines Kurses, dem ich folge, dass wir, um einen Zustandsvektor in einer neuen Basis auszudrücken, eigentlich einen einheitlichen Operator wie diesen anwenden sollten:

| ψ neu ⟩ = U ^ | ψ alt ⟩

Ich habe diese Schlussfolgerung jetzt an mehreren Stellen gesehen, kann aber nicht ganz folgen. Warum ändern wir den Zustand | ψ ⟩ ? Ist der Zustand der gewählten Basis nicht unveränderlich? Das ist zum Beispiel der Ansatz von Sakurai in Abschnitt 1.5.

Oder halten wir die Basis fest, während wir den Einheitsoperator anwenden? Eine Analogie, die ich oft sehe, ist eine 2D-Rotation. Drehen der ( X , j ) Koordinatensystem durch einen Winkel θ werden ( X ' , j ' ) während der Vektor fest bleibt, ist eine Transformation der Basis (von der ( X , j ) zum ( X ' , j ' ) -System). Aber rechnerisch kann ich den Zustandsvektor auch um einen Winkel drehen − θ und das Alte behandeln ( X , j ) -Achsen wie die neuen ( X ' , j ' ) -Achsen. Ist es das, was die Quellen tun, die mich verwirren (in einem QM-Kontext)?

Antworten (1)

Der Staat ändert sich natürlich nicht, aber seine Repräsentation in der neuen Basis. Dies ist ziemlich intuitiv, nehmen wir das Beispiel von Drehungen im 2D-Raum: Betrachten Sie einen Einheitsvektor im X j Ebene, die gegeben ist durch

v = ( 1 0 ) .
Wenn ich diesen Vektor in einer Basis beschreiben würde X ' j ' die in Bezug auf gedreht ist X j um einen Winkel θ im Uhrzeigersinn, sollte es nicht zu schwer zu erkennen sein, dass es entspricht
v ' = ( cos ⁡ θ Sünde ⁡ θ ) .

Der Vektor bleibt "gleich", aber seine Darstellung ändert sich je nach Wahl der Koordinaten: was früher entlang des zeigte X Die Achse erscheint nun als Punkt entlang einer Linie entlang des Winkels θ . Wenn wir diese beiden Darstellungen in Beziehung setzen wollten, würden wir in 2D eine spezielle orthogonale Transformation (eine Drehung) verwenden, und wir könnten das sagen

v ' = R v , Wo R = ( cos ⁡ θ Sünde ⁡ θ − Sünde ⁡ θ cos ⁡ θ ) .

Eine solche Transformation bewahrt die Längen, Orientierungen und Skalarprodukte von Vektoren. In ähnlicher Weise sind in QM die Transformationen, die die "Länge" (innere Produkte) erhalten, unitäre Transformationen U ^ , da sie das Skalarprodukt invariant halten, da

⟨ ϕ ' | ψ ' ⟩ = ⟨ ϕ ' | U ^ † U ^ ψ ⟩ = ⟨ ϕ | ψ ⟩ .

Ich bin mir nicht sicher, ob ich folgen kann. In Dirac-Notation ist der Zustand, mit dem ich beginne, | ψ ⟩ = | X ⟩ . Dann in der neuen Basis bekommen wir | ψ ⟩ = cos ⁡ θ | X ' ⟩ + Sünde ⁡ θ | j ' ⟩ . Das ist mir vollkommen klar: Der Vektor bleibt identisch, aber die Matrixelemente ändern sich (durch eine unitäre Matrix!). Aber wenn ich einen einheitlichen OPERATOR auf meinen Zustandsvektor anwenden würde, würde ich einen völlig anderen Vektor erhalten: U ^ | ψ ⟩ = cos ⁡ θ | X ⟩ − Sünde ⁡ θ | j ⟩ . Das ist nur das Gleiche, wenn ich anfange zu "vorgeben", dass die Basisvektoren nach den Transformationen "neu" sind, richtig?
Also in diesem Fall haben wir | v ' ⟩ ≠ | v ⟩ ? Seit R ^ ist nicht der Identitätsoperator?
Ja, sie repräsentieren beide denselben physikalischen Zustand (dh den Stock), aber ihre Repräsentationen sind in unseren individuellen Basen unterschiedlich.
Zum Beispiel: Betrachten Sie zwei Personen ( A Und B ), die sich relativ zueinander bewegen und ein Teilchen in einem bestimmten Impulszustand beobachten. Beide messen den Impuls des Teilchens: A misst ein Momentum P A , Und B misst ein Momentum P B . A sieht den Zustand des Teilchens als seiend | P A ⟩ , Und B sieht es als drin an | P B ⟩ . Natürlich ist es nichts Besonderes, sich ständig relativ zueinander zu bewegen, und daher sind ihre Weltanschauungen äquivalent, und das mit allen Wahrscheinlichkeiten A wird finden P A Und B wird finden P B sind gleich. Die Transformation zwischen Zuständen ist einheitlich.
Entschuldigen Sie die vielen Fragen, aber ist die Darstellung nicht nur die zugehörige Spaltenmatrix? Ich weiß, dass die Spaltenmatrix die Komponenten enthält ⟨ X ' | v ⟩ etc. ändert sich mit einer einheitlichen Transformation. Aber die Vorstellung, dass sich der Zustandsvektor ändert ( | v ⟩ ≠ | v ' ⟩ ) scheint der Tatsache völlig zu widersprechen, dass wir einen Ket-Vektor in mehreren Basen durch die Identitätstransformation ausdrücken können: | ψ ⟩ = ∑ N | ϕ N ⟩ ⟨ ϕ N | ψ ⟩ = ∑ N | ϕ N ' ⟩ ⟨ ϕ N ' | ψ ⟩
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