Radioaktivität und Halbwertszeit

Der Prozess des radioaktiven Zerfalls findet zu jedem Zeitpunkt statt, in dem der Stoff existiert. Die Geschwindigkeit, mit der der Zerfall stattfindet, ist proportional zur Anzahl aktiver Teilchen zu dem gegebenen Zeitpunkt. Es ist nicht stroboskopisch. Aber wenn Sie die Differentialgleichung lösen, erhalten Sie eine ziemlich gute Annäherung darüber, wie viele radioaktive Teilchen nach einiger Zeit übrig bleiben.

löst sich die Hälfte davon in Luft auf...?

Notiz! Es verschwindet nicht. Es wird etwas anderes. Sie haben als Beispiel ⁹⁰ Sr angegeben . Wenn ein Atom von ⁹⁰ Sr zerfällt, emittiert es ein Betateilchen und wird zu einem Atom von ⁹⁰ Y (Yttrium) .

Beta-Emission tritt in einem Kern auf, der zu viele Neutronen hat, um stabil zu sein. Eines der Neutronen wird spontan; ein Proton, ein energetisches Elektron (alias „Beta-Teilchen“) und ein Antineutrino . Da der Kern jetzt ein Proton mehr hat als vorher, erhöht sich die Ordnungszahl um eins.

⁹⁰ Y hat eine Halbwertszeit von nur wenigen Tagen, bevor es (wiederum durch Beta-Emission) zerfällt und ein stabiles ⁹⁰ Zr (Zirkonium)-Atom wird .

https://en.wikipedia.org/wiki/Decay_chain

Nein tut es nicht. Es zerfällt mit einer Geschwindigkeit, die von seiner Halbwertszeit abhängt. Wie @Jon Custer sagte, ist es ein statistischer Prozess und die Kerne werden in einem bestimmten Zeitraum zufällig zerfallen. Die Zerfallsrate, Zerfall pro Zeiteinheit, ist gegeben durch A = λN, wobei A die Zerfallsrate, λ = Zerfallskonstante und N die Anzahl der Kerne in der Probe ist.

Wenn wir von Halbzeit sprechen, haben wir es mit einer Ansammlung vieler Atome zu tun (makroskopische Größe, dh in der Größenordnung der Avogadro-Zahl). Jedes Atom hat eine Wahrscheinlichkeit$p=\frac{1}{\tau}$pro Zeiteinheit zu zerfallen, wobei die durchschnittliche Anzahl nicht zerfallener Atome durch gegeben ist$N_0e^{-t/\tau}$, Wo$N_0$ist die Anfangsmenge an Isotopen.

Was wirklich passiert

Es kommt wirklich darauf an. Wenn Sie einen moderaten Wert für die Zerfallsrate haben ($\sim 10^{10} \:\rm dps$), dann ist der Zerfall mehrerer Teilchen pro Sekunde unvermeidlich. Wenn jedoch der Wert der Zerfallsrate klein genug ist ($\sim 2 \: \rm dps$), dann ist es durchaus möglich, dass Sie eine bestimmte Sekunde finden, in der keines der Teilchen zerfallen ist. In den Fällen, in denen die Zerfallsrate$≤1\:\rm dps$, ist es sehr wahrscheinlich, solche Zeitintervalle zu finden.

Warum passiert das?

Der Grund, warum dies so ist, liegt in der quantenmechanischen Natur des Kernzerfalls. Man kann nicht wirklich vorhersagen, ob ein bestimmtes Teilchen bis zu einem bestimmten Zeitpunkt definitiv zerfallen sein wird$t$, aufgrund der quantenmechanischen Natur des Prozesses des Kernzerfalls. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen zerfällt, nimmt jedoch um eine Zeit ab$t$nimmt mit der Zeit zu$t$steigt, so dass es sehr wahrscheinlich ist, dass das Teilchen schließlich zerfällt. Da wir es aber mit Wahrscheinlichkeiten zu tun haben, können wir nie sicher sein, dass ein Teilchen zerfallen ist.

Wenn Sie sich mit Quantenmechanik beschäftigen, wissen Sie vielleicht auch, dass der Zustand eines Kerns eine Überlagerung von zerfallen und nicht zerfallen ist. Und Sie können nicht wissen, ob es zerfallen ist, bis Sie seine Wellenfunktion kollabieren, indem Sie eine Messung durchführen und prüfen, ob es zerfallen ist. (siehe letzten Abschnitt für die Fortsetzung dieses Gedankengangs)

Wie kommt es, dass wir eine kontinuierliche Funktion schreiben, die den Zerfall beschreibt?

Die Funktion, die wir schreiben, kann als "empirisch" angesehen werden , oder besser gesagt, eher als Annäherung an die Realität als als absolute Wahrheit. Wenn Sie also ein Kernzerfallsexperiment durchführen würden, würden Sie höchstwahrscheinlich Messungen finden, die der mathematischen Gleichung des Kernzerfalls ziemlich nahe (wenn auch nicht genau) kommen:

Unabhängig davon, wie oft Sie das Experiment wiederholen oder wie genau Sie Ihr experimentelles Verfahren durchführen, erhalten Sie immer Ergebnisse, die der Gleichung näher kommen$(1)$, aber Sie könnten das Experiment niemals durchführen und genau die gleichen Ergebnisse erzielen, die von der Gleichung vorhergesagt werden. Und nein, das liegt nicht an den experimentellen Fehlern, die sich eingeschlichen haben könnten, sondern an der unsicheren und probabilistischen Natur des nuklearen Zerfalls.

Viele-Welten-Interpretation

^{Dies ist ein bisschen ein Off-Shoot-Abschnitt, also nicht direkt mit der Frage verbunden, aber es lohnt sich, es zu lesen :-)}

Wenn Sie nun an die Viele-Welten-Interpretation der Quantenmechanik glauben , dann wären Sie fasziniert zu hören, was sie während des Kernzerfalls vorhersagt. Es sagt voraus, dass sich unser Universum während des Prozesses des nuklearen Zerfalls mehrfach (millionenmal) verzweigt, wobei jedes Universum anders ist. Mit anderen Worten, wann immer es zwei Möglichkeiten für einen Kern gibt, zerfallen oder nicht zerfallen, verzweigt sich unser Universum in zwei andere Universen, wobei in einem der Universen der Kern zerfallen ist, während er im anderen nicht zerfallen ist. Und das gilt für alle Kerne.

Diese Logik impliziert ein äußerst verblüffendes Ergebnis. Es impliziert, dass es ein Universum geben könnte, in dem keines der Teilchen in der ersten Sekunde des nuklearen Zerfalls zerfallen ist (obwohl der nukleare Zerfall eine Rate von$10^{10}\:\rm dps$). Das klingt zunächst unwirklich und suggeriert uns damit, an der Viele-Welten-Interpretation zu zweifeln.

Wenn wir jedoch weiter denken, dann können wir feststellen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass wir uns in einem solchen Universum befinden, extrem gering ist (ich meine extrem extrem extrem gering). Warum? Denn jedes Mal, wenn sich ein Universum in zwei neue Universen verzweigt, haben wir fast die gleiche Wahrscheinlichkeit, in dem einen oder dem anderen zu sein. Aber um in ein Universum zu gelangen, in dem in der ersten Sekunde keine Teilchen zerfallen sind, müsste man jedes Mal in der "unzerfallenen" Version des Universums landen, z$10^{10}$Verzweigungen . Und das ist äußerst unwahrscheinlich , daher finden wir uns nie wieder, wenn wir ein solches Experiment durchführen. Aber beachten Sie das, wenn wir unser Experiment durchführen würden$2^{10^{10}}$Manchmal haben wir vielleicht die Möglichkeit, Zeuge dieses "besonderen" Zerfalls zu werden, bei dem in der ersten Sekunde nichts zerfällt.

Das Poster kann fragen, ob der radioaktive Zerfall ein kontinuierlicher Prozess oder ein diskreter Prozess ist.

Es ist ein kontinuierlicher Prozess. Für jedes gegebene Zeitinkrement besteht eine Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Menge an Material zerfällt. Diese Wahrscheinlichkeit wird „Zerfallskonstante“ genannt und üblicherweise mit dem griechischen Symbol „$\lambda$".

In Form einer Differentialgleichung ist die "Änderungsrate" der Nuklidkonzentration proportional zur Zerfallskonstante multipliziert mit der Konzentration selbst.

Die Zerfallskonstante ist keine sehr intuitive Variable, da die Einheiten "pro Zeit" sind. Daher wird die Zerfallskonstante normalerweise in eine "Halbwertszeit" umgewandelt, die intuitiver zu verstehen ist, da sie Zeiteinheiten enthält. Sie können die vorherigen Gleichungen verwenden, um zu zeigen, dass die Halbwertszeit durch den Ausdruck mit der Zerfallskonstante in Beziehung steht

Die Verwirrung mag darin liegen, dass die Halbwertszeit Zeiteinheiten (z. B. Sekunden) hat, sich aber dennoch auf einen kontinuierlichen Prozess bezieht.

Um den radioaktiven Zerfall zu verstehen, müssen wir sehen, was sich im Kern eines Atoms befindet und wie seine Teile interagieren.

Wie Sie vielleicht wissen, bestehen alle Kerne, egal welche Art von Atom (Element), aus Protonen und Neutronen ( Nukleonen ). Ein Proton ist ein positiv geladener schwerer Körper, und ein Neutron ist nur geringfügig schwerer als ein Proton und trägt keine Ladung. Das Neutron kann man sich als Proton vorstellen, an das durch die schwache Kernkraft ein Elektron (oder genauer gesagt ein Betateilchen) gebunden ist.

Durch die elektrische Abstoßungskraft zwischen gleich geladenen Körpern stoßen sich die Protonen eines Kerns sehr stark ab. Die anziehende starke Kernkraft ist jedoch bei solch kleinen Abständen viel stärker als die elektrische Kraft, und daher überwindet die starke Kernkraft die elektrostatische (Coulomb-) Abstoßung und hält die Protonen und Neutronen zusammen.

Diese Vereinigung führt zu einer Kugel aus Protonen und Neutronen (bis zu einer gewissen Annäherung), die im Kern heftig hin und her zittert, aber von der starken Kernkraft zusammengehalten wird. Manchmal ist die Konfiguration (Form) des Kerns (oder Isotops) immer energetisch "stabil" und wird niemals auseinanderbrechen, egal wie viel Zeit vergeht - wie ein intakter Wasserballon (solange nicht etwas Starkes mitkommt). und zerbrechen). Andere Kerne (von einem anderen Isotop), nehmen in dieser heftigen Schwingung hin und wieder eine Form an, die von der Volumen- und Oberflächenspannung nicht gehalten werden kann. Diese werden "instabile" Kerne oder "radioaktive" Kerne genannt. Dabei bricht ein Stück des Kerns, ein Teilchen, ab. Dies wird als „Zerfall“ oder „radioaktiver Zerfall“ bezeichnet. Wenn der Kern zerfällt, verschwindet er nicht. Es zerbricht einfach in mehrere Teile.

Wir können für einen gegebenen "instabilen" Kern nicht genau sagen, wann er eine Konfiguration annehmen wird, die zum Zerfall führt. Aber wenn wir eine große Anzahl von Kernen haben (sagen wir,$N = 10^{23}$; ungefähr die Anzahl der Atome, wenn sie angehäuft sind, die Sie mit bloßem Auge sehen können) können wir ungefähr sagen, dass die Anzahl der zerfallenden Kerne zur Zeit t, dN(t), proportional zur Anzahl der zur Zeit t vorhandenen Kerne, N(t) sein muss ). Zusätzlich können wir sagen, dass dN(t) proportional zu der Zeit sein sollte, die über eine ausreichend kleine Dauer dt vergeht. Beachten Sie, dass N in diesen Proportionalitäten eher als stetig als als diskret betrachtet wird. Dies ist eine Annäherung – oder eigentlich ein Fehler – da wir per Definition nicht wirklich einen Bruchteil eines radioaktiven Teilchens haben können.

Trotzdem weitermachen, haben wir gesagt$dN \propto N dt$.

Neuordnung und Einführung einer Proportionalitätskonstante,$\lambda$(die "Zerfallskonstante"), sehen wir

$\frac{dN(t)}{dt} = - \lambda N(t)$

Die Konstante$\lambda$wird per Definition als positiv angesehen, daher wird das Negativ eingeführt, um zu erfassen, dass die Änderung der Anzahl der Kerne über die Zeitdauer dt negativ ist.

Umstellen der Gleichung ergibt

$\frac{dN(t)}{N(t)} = -\lambda dt$

Die Lösung dieser Gleichung durch Grundrechnung ist

$N(t) = N(t=0) e^{-\lambda t}$

Hier kommt das „e“ her.

Ihre Frage lautet nun: "Kommt jede Sekunde Verfall vor?" Das Problem ist, dass die Frage davon ausgeht, dass es eine Ja- oder Nein-Antwort gibt. Außerdem ist es nützlich, die Halbwertszeit zu erklären.

Die Halbwertszeit ist per Definition die Zeit, in der die Hälfte der Kerne in der Probe zerfallen sein sollte (zu etwas anderem werden ... nicht verschwinden).

Wir können diese Zeit berechnen, indem wir die obige Gleichung als verwenden

$\frac{N(t_{1/2})}{N(t=0)} \equiv 1/2 = e^{-\lambda t_{1/2}}$

Wo$t_{1/2} = \text{half-life}$. Wenn wir die rechte Seite lösen, erhalten wir

$-ln(2) = -\lambda t_{1/2}$

oder

$t_{1/2} = ln(2)/\lambda$

Dies zeigt die Beziehung zwischen der Halbwertszeit und der Zerfallskonstante. Über die Zeit$t_{1/2}$, ist die Hälfte der ursprünglichen Kerne zerfallen, wodurch N(t=0)/2 Kerne in ihrem ursprünglichen Zustand zurückbleiben. Nach einer weiteren Halbwertszeit ist die Hälfte der verbleibenden nicht zerfallenen Kerne zerfallen, wobei N(t=0)/4 Originale verbleiben. Im Allgemeinen nach H-Halbwertszeiten$N(t=0)/2^{H}$Kerne bleiben unzersetzt.

Das Problem bei der obigen Ableitung besteht, wie erwähnt, darin, dass sie ein durchschnittliches Verhalten einer großen Anzahl von Kernen (oder genauer gesagt eines Anteils aller Kerne) berechnet, das, soweit es die Gleichung betrifft, stetig ist. Dies wird als „klassischer“ Ansatz bezeichnet.

Um den tatsächlichen Zerfall einer Anzahl von Kernen N abzuleiten, sollten wir mit der statistischen Darstellung beginnen, die die Anzahl der Kerne korrekt als diskret behandelt, aber - da wir nur die Wahrscheinlichkeit kennen, dass ein bestimmter Kern in einer bestimmten Zeit zerfällt - gibt anstelle eines deterministischen Ergebnisses eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der Endergebnisse an. Daher lautet die Antwort auf Ihre Frage: "In jeder Sekunde gibt es eine Wahrscheinlichkeit P, dass ein Zerfall stattfindet, und eine Wahrscheinlichkeit (1-P), dass kein Zerfall stattfindet." Sobald alle Kerne zerfallen sind, ist die Wahrscheinlichkeit P natürlich Null.

Es ist möglich, wenn auch äußerst unwahrscheinlich für eine große Anzahl von Kernen, dass in einer Probe radioaktiver Kerne alle in der gleichen kurzen Zeit dt zerfallen. Wir können dieses Ergebnis Nr. 1 nennen. Es gibt nur einen Weg, wie dieses Ergebnis erreicht werden kann. Wenn die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kern in der Zeit dt zerfällt, p ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass er nicht in der gleichen Zeit zerfällt, (1 - p). Die Wahrscheinlichkeit für Ergebnis Nr. 1 ist$p^{N}$.

Es gibt N Wege, auf denen das Ergebnis Nr. 2 eintritt, bei dem alle bis auf einen Kern in der Zeit dt zerfallen. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit für Ergebnis Nr. 2 ist$(\frac{N!}{(N-1)!})(1-p)p^{N-1} = N(1-p)p^{N-1}$.

Ergebnis Nr. 3 ist, dass alle bis auf 2 Kerne in der Zeit dt zerfallen. Die Wahrscheinlichkeit für Ergebnis Nr. 3 ist$\frac{N!}{(N-2)!2!}(1-p)^{2}p^{N-2}$.

Im Allgemeinen hat das Ergebnis #k, dass alle bis auf k-1 Kerne in der Zeit dt zerfallen, eine Wahrscheinlichkeit$\frac{N!}{(N-(k-1))!(k-1)!}(1-p)^{k-1}p^{N-(k-1)}$.

Eines dieser N+1 Ergebnisse muss am Ende der Zeit dt erfüllt sein, also ist die Summe aller dieser Wahrscheinlichkeiten eins.

Zur Beantwortung Ihrer Frage ist es hilfreich zu erwähnen, dass Ergebnis Nr. N+1 darin besteht, dass über den betrachteten Zeitraum kein Zerfall auftritt, und die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses ist$(1-p)^{N}$.

Die Ironie dabei ist, dass ich ein „klassisches“ Modell des Kerns selbst in die Diskussion geschoben habe – wir könnten es das „Flüssigkeitstropfen“-Modell nennen –, obwohl der Kern selbst nur eine Überlagerung einer großen Anzahl von ist mögliche Konfigurationen oder zugängliche Zustände basierend auf seiner inneren Energie, und wir können diese Anzahl möglicher Zustände im Prinzip zählen, um auch zu dem statistischen und korrekten Modell des Kerns zu gelangen.

Wir können die beiden Ansätze auch in Beziehung setzen. Wenn wir dt = 1 setzen, entspricht dies in der ersten Gleichung t = 1 (an diesem Punkt spielt es keine Rolle, welche Einheiten wir wählen, aber wir wissen, welche Einheiten wir wählen, mit denen sie konsistent sind$\lambda$), was zu einer Gleichung führt

$\frac{N(1)}{N(0)} = e^{-\lambda} = \frac{\text{Number of nuclei not decayed at time 1}}{\text{Number of nuclei at time 0}} = 1 - p$

wobei es zugegebenermaßen ein kleiner Taschenspielertrick war, da p für ein einzelnes Atom stand, während N einer Population von Atomen entspricht; aber da p von einer Population von Atomen abgeleitet ist, ist es in Ordnung.