Reeller Lagrange mit komplexer Variable

Ich habe eine allgemeine Frage zu wirklich geschätzten Lagrangianern, die komplexe Argumente annehmen. Ich habe in vielen Werken von Physikern und Vorlesungsbüchern gesehen, wo extremale Probleme in Lagrangianern diskutiert werden, die real sind, aber von komplexen Feldern abhängen.

Aber nach den Cauchy-Riemann-Gleichungen eine reelle Funktion$f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{R}$ist nur differenzierbar, wann$f=const.$da es keinen Imaginärteil hat, also z$f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)$(mit$v(x,y)=0$) es ist

$$\frac{\partial u(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial v(x,y)}{\partial y}=0\qquad \frac{\partial u(x,y)}{\partial y}=-\frac{\partial v(x,y)}{\partial x}=0\, .$$ Offensichtlich sind die meisten Lagrange-Operatoren keine Konstanten, also frage ich mich, wie extremale Probleme, Optimierungen oder Taylor-Reihen überhaupt Sinn machen? Wie sind diese Arten von Berechnungen mit der Mathematik vereinbar? Und wie entwickelt ein Taylor echte Lagrangians mit komplexen Variablen?