Reflexionsvektor (Raytracing)

Das Brechungsgesetz von Snell an der Grenzfläche zwischen 2 isotropen Medien ist durch die Gleichung gegeben:

(1) N 1 Sünde θ 1 = N 2 Sünde θ 2

Wo θ 1 ist der Einfallswinkel und θ 2 der Brechungswinkel. N 1 ist der Brechungsindex des optischen Mediums vor der Grenzfläche und N 2 ist der Brechungsindex des optischen Mediums hinter der Grenzfläche.

Gleichung (1) kann in Vektorform ausgedrückt werden als

(2) N 1 ( ich × N ) = N 2 ( T × N )
Wo ich Und T sind der Einheitsrichtungsvektor des einfallenden bzw. des durchgelassenen Strahls. N ist der Einheitsnormalenvektor zur Grenzfläche zwischen den beiden Medien, die von Medium 1 mit Brechungsindex zeigen N 1 in Medium 2 mit Brechungsindex N 2 . Ähnlich R ist der reflektierte Strahlvektor.

Wie kann die Gleichung

(3) T = μ ich + N 1 − μ 2 [ 1 − ( nein ) 2 ] − μ N ( nein )
verwendet werden, um die Gleichung herzuleiten
(4) N = ich − R 2 [ 1 − ( ich R ) ] ?

Hier μ = N 1 N 2 Und N ich = N X ich X + N j ich j + N z ich z bezeichnet das Skalarprodukt von Vektoren N Und ich .

In Lit.[1] es heißt, dass aus Gl. (3) folgt

(5) R = ich − 2 N ( N ich )
Durch einfache Modifikation
(6) N = ich − R 2 ( N ich )
Darin heißt es: „...durch Berechnung der Skalarprodukte von Vektoren N mit beiden Seiten von Gl. (6) kann man das Skalarprodukt ausdrücken ( N ich ) in der Form wie in Gleichung (4)" gezeigt, der ich nicht folgen kann )=

Könnte jemand erklären, wie Gleichung (4) hergeleitet wird?

Verweise:

  1. Antonín Mikš und Pavel Novák, Bestimmung von Einheitsnormalenvektoren asphärischer Oberflächen bei gegebenen Einheitsrichtungsvektoren von ein- und ausgehenden Strahlen: Kommentar, 2012 Optical Society of America, Seite 1356

Antworten (1)

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Ich frage mich, warum all dieses Physik-Zeug (Brechung, Reflexion, Snellsches Gesetz usw.), um eine rein einfache mathematische Frage in der Vektorrechnung zu stellen: die der Normalisierung eines Vektors.

(01) N = ich − R “ ich − R “

(02) “ ich − R “ 2 = “ ich “ 2 + “ R “ 2 − 2 ( ich ⋅ R ) = 1 + 1 − 2 ( ich ⋅ R ) = 2 [ 1 − ( ich ⋅ R ) ]
das ist
(03) “ ich − R “ = 2 [ 1 − ( ich ⋅ R ) ] 1 2
So
(04) N = ich − R 2 [ 1 − ( ich ⋅ R ) ] 1 2

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

BEARBEITEN

(05) { N ⋅ ich = cos ⁡ θ ich ⋅ R = cos ⁡ ( π − 2 θ ) = − cos ⁡ 2 θ } = = = = = = = = ⟹ cos ⁡ 2 θ = 2 cos 2 ⁡ θ − 1 − ( ich ⋅ R ) = 2 ( N ⋅ ich ) 2 − 1
deshalb deine gleichung (6)
(06) N = ich − R 2 ( N ⋅ ich )

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