Relative Taktgeschwindigkeiten von zwei Satelliten mit gleicher, aber entgegengesetzter Umlaufbahn

Die spezielle Relativitätstheorie gilt für Objekte, die in einem Trägheitsbezugssystem ruhen, also nicht beschleunigen. Objekte, die sich mit konstanter Geschwindigkeit relativ zueinander bewegen, können genau eine engste Annäherung haben; danach entfernen sie sich für immer voneinander.

Wenn Ihre beiden Satelliten aneinander vorbeifliegen, gibt es eine Zeit, in der Sie die Krümmung ihrer Umlaufbahnen vernachlässigen und ihre Uhren mit der speziellen Relativitätstheorie analysieren können. Dieser Zeitraum erstreckt sich jedoch nicht über eine halbe Umlaufbahn bis zu ihrer nächsten Interaktion: Wenn Sie die Beschleunigung der Satelliten vernachlässigen würden, würden sie sich nie wieder treffen. Die Symmetrie muss also wiederhergestellt werden, wenn Sie das Problem mit der Allgemeinen Relativitätstheorie behandeln.

Dies ist eine Variation des bekannten (scheinbaren) Zwillingsparadoxons . Die allgemeine Beschreibung dieser Art von Problemen lautet wie folgt: Sie haben Weltlinien$C_1$Und$C_2$die sich bei den Ereignissen A und B treffen. Beide Reisenden stellen ihre Uhren bei A zurück und Sie möchten wissen, welche Uhr bei B spät (oder schnell) läuft, wo sie sich wieder treffen. Um ein solches Problem zu lösen, berechnet man „einfach“ die Eigenzeit jedes Reisenden entlang seiner eigenen Weltlinie und vergleicht sie.

Im Allgemeinen werden diese Linienintegrale mit dem metrischen Tensor berechnet (wodurch die Raumzeitkrümmung, falls vorhanden, implizit berücksichtigt wird).

wo die Metrik Signatur hat$(-+++)$.

In Ihrem Fall ist - abgesehen von der Drehung des Planeten - die Situation symmetrisch, also die richtige Zeit entlang$C_1$Und$C_2$ist dasselbe.

Wenn sich der Planet dreht, dann ist die Eigenzeit auf der prograden und retrograden Umlaufbahn im Allgemeinen unterschiedlich.

Dies ist ein perfektes Beispiel dafür, wie Sie sich unnötig verwirren können, indem Sie nicht der richtigen Vorgehensweise folgen! Zeitdilatationen in der Speziellen Relativitätstheorie (SR) und in der Allgemeinen Relativitätstheorie (GR) beziehen sich immer auf eine inertiale Systemuhr. Beide Satelliten sind Beschleunigungssysteme ohne Trägheit, die sich jeden Augenblick ändern. Sie können Uhren in den beiden Nicht-Inertialsystemen nicht vergleichen, indem Sie relative Geschwindigkeiten in den SR-Gleichungen verwenden. Beide Satellitenuhren laufen also langsam in Bezug auf eine Trägheitssystemuhr und zeigen, sobald sie synchronisiert sind, für immer die gleiche Zeit. Die Zeitdilatationsgleichung in SR hängt von v^2 und in GR nur vom Ort im Gravitationsfeld ab.

Zu jedem gegebenen Zeitpunkt,$A$Die Uhr von geht nach$B$'s (augenblicklicher Trägheits-)Rahmen.

Zu jedem gegebenen Zeitpunkt,$B$Der Rahmen von ist nicht mehr derselbe wie vor einem Augenblick, und deshalb$B$ändert seine Meinung von einem Augenblick zum anderen sowohl darüber, wie lange es her ist, dass die Uhren synchronisiert wurden, als auch darüber, wie schnell$B's$eigene Uhr (sowie$A$eigene Uhr) lief in der Vergangenheit zu verschiedenen Zeiten.

Zu der Zeit$A$Und$B$komm wieder zusammen,$B$sagt:

Es gibt $A$. Seine Uhr geht im Moment langsam. Seit wir uns das letzte Mal getroffen haben, ist es auch durch verschiedene Faktoren zu verschiedenen Zeiten langsam gelaufen. Auch meine eigene Uhr ist seit unserer letzten Begegnung zu verschiedenen Zeiten um verschiedene Faktoren langsamer gelaufen. Infolgedessen sind unsere beiden Uhren in dem Sinne "falsch", dass die Zeit, die (gemäß meinem aktuellen Frame) vergangen ist, seit wir uns auf Null synchronisiert haben, von der Zeit abweicht, die derzeit auf unseren beiden Uhren angezeigt wird.

Sie können dies natürlich quantifizieren, indem Sie rekonstruieren (aus$B$zum Zeitpunkt des Wiedersehens) genau, wie langsam jede Uhr zu jedem Zeitpunkt in der Vergangenheit gelaufen ist, und verifizieren, dass die Gesamtverlangsamung auf einer Uhr gleich der Gesamtverlangsamung auf der anderen ist. Aber natürlich wissen Sie schon durch einfache Symmetrieüberlegungen, wie das ausgehen wird.

Bearbeitet, um hinzuzufügen: (Keine neuen Ideen in diesem Nachtrag, nur ein bisschen mehr mathematische Details) --- Nehmen Sie den Radius der Erde an$1$, und angenommen, beide Satelliten fliegen mit hoher Geschwindigkeit$v$in Bezug auf einen erdgebundenen Beobachter werde ich Jack nennen.

Dann laut Jack: Zur Zeit$t$, Satellit$A$ist über den Punkt$(\cos(vt),\sin(vt))$während Satellit$B$ist über den Punkt$(\cos(vt),-\sin(vt))$. Sie synchronisieren ihre Uhren damit$0$zum Zeitpunkt$0$, wenn beide über dem Punkt sind$(0,1)$.

Wenn die Satelliten wieder (laut Jack) zur Zeit aneinander vorbeilaufen$\pi/v$und Ort$(0,-1)$. Entsprechend entweder Satelliten, dessen Geschwindigkeit in Bezug auf Jack ist$(v,0)$, findet dieses Ereignis zur Zeit statt

(Das heißt, dieser Ausdruck ist, je nach Satelliten, das Zeitintervall zwischen ihrer ersten Überquerung und ihrer zweiten Überquerung.)

Aber bei der zweiten Überquerung ist die Zeit, die auf der Uhr eines der Satelliten angezeigt wird, die Länge des Weges$t\mapsto (t,\cos(vt),\sin(vt))$, welches ist

So sagt jeder Satellit im Moment seines zweiten Durchgangs

Wir haben unsere Uhren synchronisiert $T_0$vor Minuten, aber jetzt zeigen unsere Uhren beide Zeit an $T_1$, was kleiner ist als $T_0$. Das liegt daran, dass unsere beiden Uhren zu unterschiedlichen Zeiten unterschiedlich langsam gelaufen sind. In diesem speziellen Moment zeigt meine eigene Uhr die perfekte Zeit an, aber seine geht um einen Faktor von zu langsam $(1-v^2)/(1+v^2)$.

Es ist eine Standardbeobachtung in der speziellen Relativitätstheorie, dass für A und B, die relativ zueinander eine konstante Geschwindigkeit (und keine Beschleunigung) haben, sowohl A als auch B dasselbe experimentieren und sehen, dass die Uhr des anderen langsamer läuft: Die Situation ist perfekt symmetrisch. Hier ist die Situation in Ihrem Fall ähnlich, die Symmetrie ist perfekt und daher werden ihre Uhren jedes Mal, wenn sich A und B kreuzen, perfekt synchronisiert.

Wenn wir dies zurück zum ursprünglichen Herzen schälen, läuft es auf Folgendes hinaus: Nehmen Sie zwei Raumschiffe, die eine einzelne Masse in entgegengesetzten kreisförmigen Richtungen umkreisen und beide null g erfahren.

Es scheint ein allgemeiner Konsens darüber zu bestehen, dass beide Schiffe, wenn sie aneinander vorbeifahren, sehen werden, dass die Uhr des anderen langsamer vergeht als ihre eigene Uhr. Lassen Sie sie ihre Uhren synchronisieren, sobald sie vorbeikommen. Wenn dies der Fall war, würden beide Schiffe einen Moment später feststellen, dass die Uhr der anderen nur geringfügig hinter ihrer eigenen zurückging. Dennoch scheint ein allgemeiner Konsens darüber zu herrschen, dass bei der nächsten Vorbeifahrt der Schiffe jeder darauf achten wird, dass seine Uhren wieder synchronisiert werden. Alle Aussagen berücksichtigen natürlich Doppler-Effekte.

Also ... wenn A beobachten soll, dass die Uhr von B seine eigene einholt, muss es einen Zeitraum geben, in dem A beobachten wird, dass die Uhr von B schneller läuft als seine eigene. In ähnlicher Weise muss es, wenn B beobachten soll, dass die Uhr von A seine eigene einholt, eine Periode geben, während der B beobachten wird, dass die Uhr von A schneller läuft als seine eigene. In diesem Szenario erfahren beide Schiffe Null g, also bleiben uns nur die relativen Geschwindigkeiten der Schiffe - und diese Differenz fällt vorübergehend auf Null, wenn sich die beiden Schiffe gegenüberstehen, so dass das scheinbare Paradoxon nicht gelöst wird.

Die einzige Antwort, die mir einfällt, bezieht sich auf die Beobachtung der Umlaufbahn der anderen Schiffe durch jedes Schiff.

Ich denke, sie werden beide das andere Schiff auf einer elliptischen Umlaufbahn beobachten. Darüber hinaus werden sie, da sie jeweils ihre mehrfachen Berechnungen in der Mitte der Umlaufbahn durchführen, um die Position des anderen Schiffes und die "Uhrzeit, als das Licht das andere Schiff verließ", zu überwachen, tatsächlich beobachten, dass die Zeit der anderen Uhr schneller vergeht als ihre eigene Spitze an diesem Punkt wo sie einander gegenüberstehen. An diesem Punkt werden sie beide feststellen, dass der andere weiter von dem umkreisten Objekt entfernt ist als sie selbst.

Vernünftig?

Betrachten wir das Bild.

Der Satellit sagt: "Der Spiegel ist vor mir, der andere Satellit ist zeitgedehnt, ich empfange Signale mit normaler Rate, weil die Doppler-Verschiebung die Langsamkeit der Uhr des anderen Satelliten aufhebt."

Eine vereinfachte Version: Die Bodenstation am Nordpol sendet Signale an einen umlaufenden Satelliten. Der Satellit sagt: „Die Bodenkontrollstation ist vor mir, die Station ist zeitgedehnt, ich empfange Signale mit besonders schneller Rate, weil die Dopplerverschiebung die Langsamkeit der Uhr der Bodenstation übersteigt.

Der Grund, warum der Satellit sagt, der Nordpol sei ihm voraus, ist der sogenannte Aberrationseffekt. https://en.wikipedia.org/wiki/Aberration_(astronomy)#Apparent_and_true_positions

Um ein intuitives Gefühl dafür zu bekommen, was in diesem Fall passiert, können wir es mit der Auflösung des "dritten Frames" des Zwillingsparadoxons vergleichen . Wenn sich der reisende Zwilling in dieser Auflösung umdreht, springt er in einen anderen Referenzrahmen. Vor der Wende befindet er sich in einem Rahmen, der sich von dem Zwilling entfernt, der zu Hause geblieben ist. Nach der Wende befindet er sich in einem Rahmen, der sich auf den Heimzwilling zubewegt. Dieser neue Rahmen hat eine andere Wahrnehmung darüber, was die Uhr des Heimzwillings anzeigt. Es ist, als ob die Wende die Uhr des Heimzwillings plötzlich vorstellt, zumindest in der Wahrnehmung des reisenden Zwillings.

Hier passiert etwas Ähnliches. Aufgrund der relativen Geschwindigkeit zwischen den Satelliten sollte jeder Satellit sehen, dass die Uhr des anderen langsamer läuft. Aber jeder Satellit ändert auch ständig seine Richtung. In gewisser Weise springt es ständig auf einen neuen Referenzrahmen, der sich in eine etwas andere Richtung bewegt. Jeder dieser Sprünge bewirkt, dass die (Wahrnehmung) der anderen Uhr auf die gleiche Weise vorwärts springt wie bei der Umkehrung im Zwillingsparadoxon. Da dieses „Frame-Hopping“ ein kontinuierlicher Prozess ist, führt dies zu einer gefühlt höheren Taktrate der anderen Uhr.

Dann sollte das Endergebnis von jemandem mit Kenntnissen der Allgemeinen Relativitätstheorie überprüft werden. Aber basierend auf diesen Argumenten würde ich vorhersagen, dass sie die Uhren des anderen als langsamer wahrnehmen, wenn sie aneinander vorbeigehen. Aber das wird durch eine schneller wahrgenommene Rate kompensiert, wenn sie sich auf gegenüberliegenden Seiten des Planeten befinden.

Die von Ihnen beschriebene Anordnung ist zwischen A und B vollständig symmetrisch, sodass die verstrichene Zeit für eine Umlaufbahn für jeden Satelliten gleich ist.

Ihre Frage, wie beide Uhren langsamer laufen können als die andere, basiert auf einem weit verbreiteten Missverständnis über die Natur der Zeitdilatation. Die Zeitdilatation ist ein weiterer vollständig symmetrischer Effekt in SR und ergibt sich aus der Tatsache, dass zwei Referenzrahmen, die sich relativ zueinander bewegen, geneigte Ebenen mit konstanter Zeit haben. Eine ebene Zeitebene in einem Frame entspricht einem geneigten Schnitt durch die Zeit im anderen, wobei die Neigung in Bewegungsrichtung nach oben verläuft. Das heißt, wenn Sie Ihre Uhr bei t'=t=0 mit einer vorbeiziehenden Uhr im anderen Rahmen synchronisieren, ist es in dem Moment, in dem überall in Ihrem Rahmen t'=0 ist, überall bereits später als t= 0 von Ihnen, der Wert von t steigt mit der Entfernung .

Stellen Sie sich vor, Sie reisen, stellen Sie Ihre Uhr auf t=0, und irgendwann vor Ihnen gibt es eine Person, deren Uhr 1s vor Ihrer eingestellt ist. Wenn Sie dann 100 Sekunden nehmen, um diese Person zu erreichen, werden Sie feststellen, dass ihre Uhr 101 Sekunden anzeigt, wenn Sie dort ankommen, nicht weil sie schneller tickt als Ihre Uhr, sondern weil sie bereits 1 Sekunden anzeigte, als Sie Ihre Reise begannen. Das ist im Großen und Ganzen analog zu der Art und Weise, wie die Zeitdilatation in SR ansteigt. Das liegt nicht daran, dass sich bewegende Uhren langsamer werden, sondern daran, dass der Weg, den sie durch die Raumzeit nehmen, eine kürzere verstrichene Zeit hat, die sie korrekterweise als kürzer messen. Dies ist ein wichtiger Punkt, den Sie bei der Zeitdilatation beachten sollten, wenn Sie verschiedene logische Konflikte aufgrund von Missverständnissen vermeiden möchten. Sie tritt nicht auf, weil eine Uhr langsamer läuft als eine andere, sondern weil eine sich bewegende Uhr mit aufeinanderfolgenden Uhren im anderen Rahmen verglichen wird, die zunehmend nicht mehr synchron mit der Zeit im Rahmen der sich bewegenden Uhr sind.

Das Beispiel, das Sie gegeben haben, basiert auf einem Missverständnis, dass jede Uhr langsamer läuft als die andere, was logisch unmöglich ist. Die Tatsache, dass die Satelliten ständig beschleunigen, macht den Aufbau komplizierter und damit leichter missverständlich, aber man kann es auf ein Gedankenexperiment reduzieren, bei dem Läufer in entgegengesetzte Richtungen um ein Quadrat laufen, und wenn man möchte, kann man das Quadrat austauschen mit einem Sechseck und dann mit einem Achteck und so weiter, bis Sie am Ende einen Kreis haben - die Physik bleibt immer gleich.

Und als Antwort auf einige der anderen Kommentare unterscheidet sich die von Ihnen beschriebene Anordnung im Prinzip nicht von einer Version des Zwillingsparadoxons, bei der beide Zwillinge in entgegengesetzte Richtungen hin und her reisen und um den gleichen Betrag gealtert sind, wenn sie sich wieder treffen trotz der Tatsache, dass jedes während der gesamten Reise ständig im Rahmen des anderen zeitgedehnt wurde.

Die richtige Antwort ist, beide Uhren würden gleich schnell ticken, da ihre absolute Geschwindigkeit identisch ist (7,9 km/sec). Absolute Geschwindigkeit ist diejenige, die die Uhren langsamer ticken lässt, nicht relative Geschwindigkeit. Die spezielle Relativitätstheorie ist falsch. Es liefert nur brauchbare Ergebnisse, wenn Sie Hochgeschwindigkeits- und Niedriggeschwindigkeitsobjekte vergleichen, bei denen absolute und relative Geschwindigkeiten ähnlich sind.

In Ihrem Fall haben die Objekte eine identische Umlaufgeschwindigkeit und die Umlaufgeschwindigkeiten sind absolut. Sie brauchen kein anderes Objekt, um die Orbitalgeschwindigkeit zu messen, also braucht die Rotationsgeschwindigkeit keine Relativität (sie ist absolut). Daher ist die Verwendung der Rotation der einfachste Weg, die Relativitätstheorie zu widerlegen.

Das bedeutet nicht, dass die Lorentz-Transformation falsch ist. Es ist korrekt, muss aber mit absoluten Geschwindigkeiten verwendet werden, nicht mit relativen. Mit anderen Worten, Uhren auf Satelliten ticken langsamer als Uhren auf der Erdoberfläche.

Warum? Weil Satelliten die Erde mit 7,9 km/s umkreisen, um ihre Umlaufbahn beizubehalten, während sich die Oberfläche des Planeten am Äquator mit 0,46 km/s bewegt. Sie haben also einen Unterschied von 7,4 km/s zwischen Oberfläche und Satellit, wodurch die Satellitenuhr langsamer wird.

Satelliten haben jedoch die gleichen tickenden Uhren, da sie alle mit der gleichen Geschwindigkeit reisen. Aus diesem Grund wird die Zeitdifferenz nicht akkumuliert. Es gibt keine Zeitdilatation zwischen den Satelliten. Ihre Atomuhren ticken gleich, weil Satelliten gleich schnell sind.

Relativisten weigern sich jedoch, diese einfache Wahrheit zu akzeptieren und sind bereit, die komplexesten Erklärungen und Formeln einzuführen, um zu versuchen, die tote Theorie am Leben zu erhalten. Es ist nicht möglich. Die spezielle Relativitätstheorie ist falsch, aber Lorentz-Transformationen mit absoluten Geschwindigkeiten werden immer noch verwendet, um GPS-Geräte und andere Messungen anzupassen.