Relativitätstheorie und Komponenten einer 1-Form

Ich habe eine Frage zu Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973), Gravitation ISBN 978-0-7167-0344-0 . Es ist ein Buch über Einsteins Gravitationstheorie.

Auf Seite 313, Übung 13.2. „Practice with Metric“ präsentiert eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit in sphärischen Koordinaten +$v$die ein Linienelement hat

$$ds^2 = - (1-2 M/r) dv^2 + 2 dv dr+r^2 (d\theta^2 + sin^2 \theta d\phi^2).$$

Die Frage (b) lautet:

Definieren Sie ein Skalarfeld$t$von

$$t \equiv v - r - 2M \ln((r/2M)-1)$$ Was sind die kovarianten und kontravarianten Komponenten der 1-Form$dt$(gleich u Tilde)? Was ist die quadrierte länge$u^2$des entsprechenden Vektors? Zeige, dass$u$ist zeitgemäß in der Region$R > 2M$.

Mein Versuch:

Zuerst differenzieren, um die 1-Form zu erhalten$dt$:

$$dt = dv - dr - dr/2M \cdot \frac{1}{(r/2M)-1} = dv - dr (1+\frac{1}{r-2M})$$

Das sagt aber die Korrektur$u_r = -1/(1-2M/r)$was nicht mit dem übereinstimmt, was ich geschrieben habe. Wo ist mein Fehler?

Ich verstehe, dass die quadratische Länge von$u$kommt aus dem Nicht-Null-Term v kovariant und kontravariant:$1\cdot -1/(1-2M/r)$und das r,$\phi$Und$\theta$Terme haben Nullkomponenten in den kontravarianten Termen.

Um zu beweisen, dass es in einer bestimmten Region zeitähnlich ist, muss ich das Skalarprodukt von dt mit den räumlichen Komponenten erstellen und Null finden? Für die Winkel scheint es eher trivial, aber für$r$, ich bin mir nicht sicher, wie ich das zeigen soll$dt \cdot dr = 0$. Könnte mir bitte jemand helfen?