Renormierte Masse

Zumindest in einem Modell mit nur einer Spezies steht die Masse (umgekehrt) in Beziehung zur Korrelationslänge, sodass eine Möglichkeit, eine Intuition über die Massenrenormalisierung aufzubauen, darin besteht, darüber nachzudenken, wie sich der Wechselwirkungsterm auf die Korrelationslänge auswirkt. Dies soll die Frage "Warum müssen Sie die Masse renormieren" auf relativ einfache, mathematisch klare Weise ansprechen.

Um genau zu sein, betrachten Sie die$\phi^4$Modell. Nach dem Ersetzen kontinuierlich$D$-dimensionaler Raum mit einem endlichen Gitter, um alles mathematisch eindeutig zu machen, kann der Hamilton-Operator geschrieben werden

$$H = \frac{b^D}{2}\sum_\mathbf{x}\left(\dot\phi^2(\mathbf{x})+\sum_\mathbf{b}\left(\frac{\phi(\mathbf{x}+\mathbf{b})-\phi(\mathbf{x})}{b}\right)^2+\mu\phi^2(\mathbf{x})+\frac{\lambda}{12}\phi^4(\mathbf{x})\right)$$ Wo$\mathbf{x}$ist ein Gitterplatz,$\mathbf{b}$ein Gitterbasisvektor ist, und$b$ist der Gitterabstand. Die Summe vorbei$\mathbf{x}$ist eine Gitterversion eines Integrals über den gesamten Raum und der Term mit der Summe darüber$\textbf{b}$ist eine Gitterversion des Gradiententerms$(\nabla\phi(\mathbf{x}))^2$. Der Overhead-Punkt an$\dot\phi$bezeichnet die zeitliche Ableitung von$\phi$(im Heisenberg-Bild), wie immer.

Nun, hier ist die Intuition. Stell dir das erstmal vor$\lambda=0$. In diesem Fall wissen wir, dass die physikalische Masse$m$hängt mit dem Koeffizienten zusammen$\mu$von$\mu=m^2$. Der kinetische Term, der einzige Term, der verschiedene Gitterplätze verbindet, ist dafür verantwortlich, dass die Korrelation funktioniert

$$\langle 0|\phi(\mathbf{x})\phi(\mathbf{y})|0\rangle - \langle 0|\phi(\mathbf{x})|0\rangle\,\langle 0|\phi(\mathbf{y})|0\rangle$$ ist ungleich Null für$\mathbf{x}\neq\mathbf{y}$. Nach der Neuskalierung des Feldes und des Zeit-Parameters setzen Sie die$\lambda=0$Hamiltonian in der Form $$H = \frac{b^D}{2}\sum_\mathbf{x}\left(\dot\phi^2(\mathbf{x})+\sum_\mathbf{b}\left(\frac{\phi(\mathbf{x}+\mathbf{b})-\phi(\mathbf{x})}{mb}\right)^2+\phi^2(\mathbf{x})\right),$$ wir sehen, dass die Korrelationslänge notwendigerweise durch die Kombination bestimmt wird$mb$, also muss die Korrelationslänge sein$1/m$in Einheiten des Gitterabstands$b$.

Nun nehme das an$\lambda>0$Und$\mu=0$. Obwohl die 2-Punkt-Korrelationsfunktion nicht mehr geschlossen aus berechnet werden kann, zeigt das gleiche Skalierungsargument an, dass die Korrelationslänge durch die Kombination bestimmt wird$b\sqrt{\lambda}$. Die Beziehung zwischen Korrelation und physikalischer Masse (die mit der Identifizierung der physikalischen Masse mit dem Pol im Propagator zusammenhängt) sagt uns dann, dass die physikalische Masse in diesem Fall nicht Null sein muss , obwohl$\mu=0$. Mit anderen Worten, wann$\mu=0$, wird die physikalische Masse vollständig durch den Kopplungsterm induziert.

Um zu sehen, was wann passiert$\mu$Und$\lambda$beide ungleich Null sind, wählen Sie einen beliebigen Wert$\lambda\geq 0$und überlege wie$\mu$muss abgestimmt werden, um die Korrelationslänge unendlich zu machen (was einer physikalischen Masse von null entspricht). Wenn$\lambda=0$, dann wissen wir, dass die Wahl$\mu=0$macht die Korrelationslänge unendlich. Wir haben gerade gesehen, dass wenn$\lambda>0$, dann ist die Korrelationslänge endlich , falls$\mu=0$, also müssen wir wählen, um die Korrelationslänge wieder unendlich zu machen$\mu<0$um den Effekt des Wechselwirkungsterms auszugleichen. Vermietung$\mu_c(\lambda)$bezeichnen diesen speziellen (negativen) Wert von$\mu$das macht die Korrelationslänge unendlich, das sagt, dass wenn$\lambda>0$, dann wählen$\mu>\mu_c(\lambda)$ergibt eine physikalische Masse ungleich Null (d. h. eine endliche Korrelationslänge), selbst wenn$\mu$ist immer noch negativ!

Übrigens wählen$\mu<\mu_c(\lambda)$ergibt spontane Symmetriebrechung (des Diskreten$\phi\rightarrow -\phi$Symmetrie).

Dieses ganze Bild wird durch numerische Berechnungen bestätigt, von denen einige in Luscher und Weisz (1987), "Scaling Laws and Trivialität Boundaries in the Lattice" zu finden sind$\phi^4$Theorie (I). One-component model in the symmetric phase", Nuclear Physics B 290 : 25-60, und einige in Hasenbusch (1999), "A Monte Carlo study of Leading Order Scaling Corrections of$\phi^4$Theorie eines dreidimensionalen Gitters", https://arxiv.org/abs/hep-lat/9902026 .

Sie sind verwirrt, weil Sie denken, dass das Gegenstück zur renormierten Ladung die renormierte Masse ist. Es ist falsch (zumindest ist es nicht genau)! Eigentlich das Gegenstück zur renormierten Ladung$e$ist Eigenenergie$\Sigma$. Während die renormalisierte Ladung$e(p^2)$ist impulsabhängig, ebenso die Eigenenergie$\Sigma(\not{p})$.

(Einige Klarstellungen: Genauer gesagt sollten wir über die Impulsabhängigkeit der renormierten Kopplung/1PI-Vertex anstelle der renormierten Ladung sprechen. Wir verwenden hier die Terminologie von OP.)

Schauen wir uns den Fermionenpropagator an

$$G = \frac{i}{\not{p}-m_0 - \Sigma(\not{p})+i\epsilon}$$ wo Selbstenergie allgemein ausgedrückt werden kann als $$\Sigma(\not{p}) = a(p^2) + b(p^2)\not{p}.$$ Um unsere Diskussion zu vereinfachen, nehmen wir an, dass (was bedeutet, dass es keine Renormierung der Wellenfunktion gibt) $$b(p^2) = 0.$$ Wenn wir die Selbstenergie weiter ausbauen als $$\Sigma(p^2) = a(p^2) = m_0' + c_1p^2 + c_2p^4 + ...$$ es stellt sich heraus, dass$m_0'$ist divergent, während$c_1$Und$c_2$sind endlich. Das ganze Massen-Renormalisierungsgeschäft hängt von dieser Annahme ab $$m_r = m_0 + m_0'$$ ist endlich (d.h. die bloße Masse$m_0$muss divergent sein), so dass der Fermionenpropagator $$G = \frac{i}{\not{p}-m_0 - \Sigma(p^2)+i\epsilon}$$ $$= \frac{i}{\not{p}- (m_r + c_1p^2 + c_2p^4 + ...) + i\epsilon}$$ ist endlich und wohldefiniert.

Die physikalische Masse$m_p$wird einfach durch den Pol des Fermionenpropagators bestimmt

$$m_p^2 = (m_0 + \Sigma(m_p^2))^2 = (m_r + c_1m_p^2 + c_2m_p^4 + ...)^2.$$

Beachten Sie, dass$m_p$(oder$m_r$) experimentell bestimmbar sein, wohingegen$m_0$Und$m_0'$sind unterschiedlich und unbekannt.

Das Laufen von$\Sigma(\not{p})$wird durch die endlichen Parameter bestimmt$c_1$Und$c_2$. Das Schöne an QFT ist, dass die exakten und endlichen Zahlen von$c_1$Und$c_2$kann theoretisch berechnet werden (im Gegensatz zu den unkalkulierbaren Zahlen wie der physikalischen Masse$m_p$). An diesen berechenbaren Parametern können wir ein Modell wirklich verifizieren oder falsifizieren : im Fall der renormierten Ladung$e(p^2)$, stecken Sie einfach die theoretisch berechneten Parameter (Gegenstücke von$c_1$Und$c_2$) hinein$e(p^2)$und vergleiche das mit dem Laufverhalten von experimentell ermittelten$e(p^2)$.

Andererseits sind die renormierten Parameter wie z$m_p$(oder$m_r$), obwohl endlich, sind NICHT berechenbar. Und wir akzeptieren einfach, was uns das Ergebnis des Experiments sagt. Sie können NICHT verwendet werden, um ein Modell zu verifizieren oder zu falsifizieren. Das heißt, es gibt einen subtilen Punkt: Wenn wir glauben, dass auf der Energieebene über das vorliegende Modell hinaus etwas zusätzliche Physik vor sich geht, erwarten wir das gewissermaßen$m_p$(z. B. Masse des Higgs-Bosons$m_H$) ist vergleichbar mit dem besagten Energieniveau (der jenseits des Standardmodells liegenden Energieskala).$\Lambda_{BSM}$). Wenn nicht, haben wir ein Hierarchieproblem. Weitere Erläuterungen finden Sie hier .

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Eine Randbemerkung:

Wir wissen, dass die physische Masse$m_p$entspricht dem Pol des renormierten Fermionenpropagators. Aber wissen Sie, dass es auch einen Pol in der Ladung/Kupplung gibt$e(p^2)$? Dieser sogenannte Landau-Pol in der QED-Ladung/Kopplung$e(p^2)$wurde zuerst von Landau bemerkt. Ist der Landauer Pol an$p \sim \Lambda_{Landau}$etwas Physikalisches wie die physikalische Polmasse? Nein, das ist es nicht, es ist ein falscher Pol, der auf das Versagen der perturbativen QFT jenseits der Hochenergieskala hinweist$p > \Lambda_{Landau}$im Fall von QED oder dem Ausfall von perturbativer QFT unterhalb der niedrigen Energieskala$p < \Lambda_{QCD}$im Fall von QCD.