Rollendes Rennen, bei dem Gegenstände mit Rutschen rollen

$$\underline{\text{The Case of Pure Rolling}}$$ Lassen Sie uns diesen Fall zuerst verstehen. Welche Reibungskraft wirkt auf ein Objekt (betrachten wir eine Scheibe mit Radius$R$und Masse$M$), das ist reines Herunterrollen einer Steigung (Neigungswinkel$\theta$)?

Da der Kontaktpunkt augenblicklich in Ruhe ist (kein Rutschen), ist die auf das Objekt wirkende Reibungskraft statischer Natur ($f_s \leq \mu_s N$). Es wird von gegeben$(1)$.

$$f_s = \frac{mg\sin\theta}{1+\frac{mR^2}{I_{CM}}} \tag{1}$$ $$\text{Requirement for pure rolling : }\mu_s \geq \frac{f_s}{N}=\frac{\tan \theta}{1+\frac{mR^2}{I_{CM}}}=\mu_c \tag{2}$$

Die Reibung auf der Oberfläche versucht sicherzustellen, dass es nicht rutscht, wenn die Scheibe am oberen Ende der Steigung aus dem Ruhezustand freigegeben wird. Und es ist nur erfolgreich, wenn$(2)$ist befriedigt. Aber was wenn$(2)$ist nicht zufrieden?

$$\underline{\text{The Case of Rolling with Slipping}}$$ Wenn$(2)$nicht erfüllt ist, beginnt der Kontaktpunkt zu rutschen und daher ist die auf die Scheibe wirkende Reibungskraft nicht statisch, sondern kinetisch. $$f_k = \mu_k N \tag{3}$$ $$mg\sin \theta -f_k = ma \Rightarrow a = g\sin \theta - \mu_kg \cos \theta\tag{4}$$

Nun, um zu Ihrem Problem zu kommen, die Frage besagt, dass der Reibungskoeffizient ($\mu_s \approx \mu_k$) zwischen den Objekten und die Steigung bei allen drei Objekten gleich ist und zum reinen Rollen nicht ausreicht (d.h$(2)$nicht für jedes der drei Objekte erfüllt ist). Daher ist es$(4)$das gibt die Beschleunigung der drei Objekte und da$\mu_k$ist für alle drei gleich, sie rollen mit der gleichen Beschleunigung nach unten und erreichen gleichzeitig den Boden.

$$\textbf{EDIT}$$

Warum sollte das gleiche Ergebnis nicht für reines Rollen gelten?

Beim reinen Abrollen hängt die auf den Gegenstand wirkende Haftreibungskraft von der ab$I_{CM}$des Objekts [$(1)$] : Die Reibungskraft wird für die drei Objekte nicht gleich sein. Was wiederum impliziert, dass die Objekte unterschiedliche Beschleunigungen erfahren [$(5)$] (und erreichen daher nicht gleichzeitig den Boden). Aus diesem Grund gewinnt das Objekt mit dem geringsten Trägheitsmoment das Rennen, weil die auf dieses Objekt wirkende Reibungskraft am geringsten ist.

$$a=g\sin \theta \left( \frac{mR^2}{I_{CM} + mR^2} \right) \tag{5}$$

Und warum tritt nicht ein Fall auf, in dem die feste Kugel das Rennen gewinnt, aber der Gewinnspielraum geringer ist als im Fall des reinen Rollens?

Es ist wichtig zu bedenken, dass es drei gibt$\mu_s$'s (ruf sie an$\mu_1, \mu_2, \mu_3$) hier beteiligt: ​​eine für jedes Objekt. Nennen wir den kritischen Wert von$\mu$unterhalb dessen das Objekt die Steigung nicht reinrollen kann,$\mu_c$[Sehen$(2)$] (Auch hier gibt es einen für jedes Objekt:$\mu_{c1}, \mu_{c2}, \mu_{c3}$).

Für den Fall des reinen Walzens aller drei muss das Folgende erfüllt sein.

$$\mu_1 > \mu_{c1} \;|\; \mu_2 > \mu_{c2} \;|\; \mu_3 > \mu_{c3} \tag{6}$$

Nehmen wir an, wir modifizieren die Oberfläche, um den Wert von zu verringern$\mu_1$,$\mu_2$Und$\mu_3$(durch Glätten der Oberfläche vielleicht?). Solange das Finale$\mu_1$,$\mu_2$Und$\mu_3$(die jetzt jeweils niedrigere Werte haben als vorher) zufrieden stellen$(6)$Wenn ich über den kritischen Werten bleibe, gibt es absolut keinen Unterschied in der Bewegung der Objekte: Der Zeitunterschied zwischen der Ankunft der Objekte am unteren Ende der Steigung schrumpft nicht, wenn ich die Werte von verringere$\mu$so lange wie$(6)$ist befriedigt. Dies liegt daran, dass die Reibungskraft, die beim reinen Rollen auf die Gegenstände wirkt, nicht davon abhängt$\mu_s$[Sehen$(1)$].

Ihre Intuition (wie es auch die Intuition vieler Menschen wäre) über eine kontinuierliche Abnahme der Differenz der Ankunftszeiten mit der kontinuierlichen Abnahme von$\mu$führe dich in die Irre. Wenn sich die Reibungskraft anders verhalten würde (ich meine, einem anderen empirischen Ergebnis gehorchen würde), dann würde Ihre Intuition vielleicht der Realität entsprechen.

Aber, ja, um es noch einmal auf den Punkt zu bringen: Es gibt eine diskrete Verhaltensverschiebung der Reibungskraft im Problem. Wenn$\mu < \mu_c$, die Reibungskraft ist gegeben durch$(3)$und wenn$\mu > \mu_c$, die Reibungskraft ist gegeben durch$(1)$.

Warum ist das Endergebnis gegenüber einem der Extremfälle voreingenommen, dh alle Objekte gleiten eine reibungsfreie Oberfläche hinunter?

Da jedes Objekt im rollenden mit rutschenden Fall die gleiche Reibungskraft erfährt, sind ihre Beschleunigungen gleich und sie erreichen den Boden gleichzeitig. Es ist nicht genau dasselbe wie bei einer reibungsfreien Oberfläche: In diesem Fall drehen sich die Objekte nicht und erreichen auch schneller den Boden als beim "Rollen + Rutschen", da keine Gegenkraft vorhanden ist.