Rotation eines starren Körpers mit zwei unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten

Question

Rotation eines starren Körpers mit zwei unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten

Physik
Drehung
Winkelgeschwindigkeit
Trägheitsmoment
Starrkörperdynamik

Sorën

Stellen Sie sich einen Zylinder vor, der sich mit Winkelgeschwindigkeit um eine vertikale feste Achse dreht $\vec{\Omega}$ während er sich mit Winkelgeschwindigkeit um eine vertikale Achse dreht, die durch seinen Massenmittelpunkt verläuft $\vec{\omega}$ .

Nun die beiden Drehwinkelgeschwindigkeiten $\omega$ Und $\Omega$ sind nicht gleich, nehme ich an, und es gibt keine Verbindung zwischen den beiden Winkelgeschwindigkeiten, ist das richtig?

Erstens, wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit des starren Körpers? Ich vermute, dass es so ist

\vec{ω^{*}} = \vec{ω} + \vec{Ω}

$\vec{\omega^{*}}=\vec{\omega}+\vec{\Omega}$

Aber warum?

Und was ist dann das Trägheitsmoment in Bezug auf die Achse? $z$ des starren Körpers? Wenn ich den Parallelachsensatz verwende, bekomme ich

{ICH}_{z} = {ICH}_{C M} + M R^{2}

$I_{z}=I_{cm}+mR^2$

Wo $R$ ist die Entfernung von $z$ . Aber das scheint nicht richtig zu sein. Der Zylinder dreht sich um seinen Massenmittelpunkt nicht mit der gleichen Rotationswinkelgeschwindigkeit etwa $z$ . Also verwenden $(1)$ einige falsche Ergebnisse liefern. Zum Beispiel kinetische Energie

K = \frac{1}{2} {ICH}_{z} {\vec{Ω}}^{2} = \frac{1}{2} ({ICH}_{C M} + M R^{2}) {\vec{Ω}}^{2}

$K=\frac{1}{2} I_{z} \vec{\Omega}^2= \frac{1}{2}(I_{cm}+mR^2)\vec{\Omega}^2$

Aber das ist die kinetische Energie eines sich drehenden Körpers $z$ und Schwerpunkt mit gleicher Winkelgeschwindigkeit $\vec{\Omega}$ , und das ist nicht der Fall.

Ich bin verwirrt, kann mir jemand helfen, einen Vorschlag zu Winkelgeschwindigkeit und Trägheitsmoment bei Problemen zu machen, bei denen sich der starre Körper gleichzeitig um zwei verschiedene Achsen dreht?

John Alexiou

Ist

ω

$\omega$ die gemeinsame Geschwindigkeit (relativ) oder die absolute Geschwindigkeit des Zylinders?

Antworten (3)

Rotation eines starren Körpers mit zwei unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten

Ist $\omega$ die gemeinsame Geschwindigkeit (relativ) oder die absolute Geschwindigkeit des Zylinders?

L. Levrel · Answer 1

Es wurde in dieser anderen Frage von Ihnen bereits etwas beantwortet: Parallelachsensatz und Koenig-Satz für den Drehimpuls (siehe auch meinen Kommentar zur Antwort).

Die Winkelgeschwindigkeit muss wie die Translationsgeschwindigkeit durch Bezugnahme auf einen Rahmen definiert werden. In Ihrer Frage geben Sie die Winkelgeschwindigkeit um die Hauptachse an $ω$ . Seine Winkelgeschwindigkeit ist also ... $ω$ . Wenn Sie die Bewegung im (nicht galiläischen) Rahmen studieren, der auf dem CM zentriert ist und eine Achse hat, die nach innen zeigt $z$ , wird die Winkelgeschwindigkeit sein $ω-Ω$ . Dies erinnert an den Unterschied zwischen Sternentag und Sonnentag.
Das Trägheitsmoment wird für die Drehung um einen Punkt oder eine Achse verwendet. $I_z$ ist wie du sagst; aber das wäre nur von Nutzen, wenn sich der Körper drehen würde $z$ . Was nicht der Fall ist. Die Bewegung hier ist eine Kombination aus:
- Drehung um die Hauptachse,
- kreisförmige Übersetzung (in der Astronomie Revolution genannt) über $z$ .
Um den Drehimpuls oder die kinetische Energie in kombinierten Bewegungen wie dieser zu berechnen, verwenden Sie die Sätze von König.

John Alexiou · Answer 2

Sie können diese Situation auf zwei Arten betrachten. Zunächst in Bezug auf absolute Bewegungen $\Omega$ Und $\omega$ , und zweitens Terme der Relativbewegung $\dot{q} = \omega - \Omega$ . Die Ergebnisse sind die gleichen

Der Zylinder dreht sich mit $\omega$ Geschwindigkeit und Übersetzung mit $\Omega R$ Geschwindigkeit. Die Kombination aus Impuls und kinetischer Energie ist
- Linear Momentum: $P = M R Ω$ $p = m R \Omega$
- Drehimpuls um CM: $L = {ICH}_{C M} ω$ $L = I_{cm} \omega$
- Drehimpuls um Z : $L_{z} = L + R \times P = {ICH}_{C M} ω + M R^{2} Ω$ $L_z = L + R \times p = I_{cm} \omega + m R^2 \Omega$
- Kinetische Energie $K = \frac{1}{2} M (R Ω)^{2} + \frac{1}{2} {ICH}_{C M} (ω)^{2}$ $K = \frac{1}{2} m (R \Omega)^2 + \frac{1}{2} I_{cm} (\omega)^2$
Der Zylinder dreht sich mit relativer Geschwindigkeit $\dot{q}$ und übersetzt mit $\Omega R$ Geschwindigkeit. Die Kombination aus Impuls und kinetischer Energie ist
- Linear Momentum: $P = M R Ω$ $p = m R \Omega$
- Drehimpuls um CM:: $L = {ICH}_{C M} (Ω + \dot{Q})$ $L = I_{cm} (\Omega+\dot{q})$
- Drehimpuls um Z : $L_{z} = L + R \times P = ({ICH}_{C M} + M R^{2}) Ω + {ICH}_{C M} \dot{Q}$ $L_z = L + R \times p =(I_{cm} + m R^2) \Omega + I_{cm} \dot{q}$
- Kinetische Energie $K = \frac{1}{2} M (R Ω)^{2} + \frac{1}{2} {ICH}_{C M} (Ω + \dot{Q})^{2} = \frac{1}{2} (({ICH}_{C M} + M R^{2}) Ω^{2} + {ICH}_{C M} (ω^{2} - Ω^{2}))$ $K = \frac{1}{2} m (R \Omega)^2 + \frac{1}{2} I_{cm} (\Omega+\dot{q})^2\\ = \frac{1}{2} \left( (I_{cm}+m R^2) \Omega^2 + I_{cm} (\omega^2-\Omega^2)\right)$

Passen Sie auf, dass Ihre "2." beschreibt immer noch die Bewegung im "festen" Bezugssystem, nicht im "umlaufenden", und deshalb $p$ , $L$ , $L_z$ , $K$ denselben Wert in Ihrer "1" haben. und 2."
Gleichungen auf einem nicht-inertialen Rahmen machen keinen Sinn. Ich betrachte Dinge immer auf Trägheitsrahmen, nur an verschiedenen Orten oder mit verschiedenen Modellierungsoptionen (absolute vs. relative Bewegung).
Das zu sagen "macht keinen Sinn", ist etwas übertrieben. Ich stimme zu, dass Trägheitsrahmen im Allgemeinen vorzuziehen sind, aber manchmal ist es einfach einfacher, im nicht-Trägheitsrahmen mit zusätzlichen Pseudokräften zu studieren: Sie werden zB keine Ballistik im geozentrischen Rahmen studieren!

Paddy · Answer 3

Ja.. Die beiden Winkelgeschwindigkeiten sind unabhängig voneinander...

Es ist im Grunde so, als würde sich die Erde um die Sonne drehen ... Die Rotationsgeschwindigkeit der Erde um die Sonne ist unabhängig von ihrer Rotationsgeschwindigkeit um ihre eigene Achse ....

Ich bin mir bei Ihrer ersten Gleichung, in der Sie die beiden Winkelgeschwindigkeiten addieren, nicht ganz sicher ...

Wie Leverl sagte, sind die beiden Bewegungen völlig unterschiedlich ... Sie können kein "GEMEINSAMES" Trägheitsmoment definieren ...

Und ja, verwenden Sie die Sätze von Konig, um die anderen beiden Fragen zu lösen ...

Hoffe das hilft!!!

Grüße,

Pradyoth Shandilya

Rotation eines starren Körpers mit zwei unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten

Sorën

John Alexiou

Antworten (3)

L. Levrel

John Alexiou

L. Levrel

John Alexiou

L. Levrel

Paddy

Gibt es eine Formel für den Rotationsvektor in Bezug auf den Winkelgeschwindigkeitsvektor?

Kann der Drehimpuls eines beliebigen starren Körpers (symmetrisch oder asymmetrisch) auf diese Weise ermittelt werden?

Wie beweisen wir die Existenz der momentanen Rotationsachse?

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Physikalische Bedeutung des Trägheitsmoments um eine Achse

Zusammenhang zwischen Rotationsvektorableitung und Winkelgeschwindigkeit bei konstantem Rotationswinkel

Welche physikalische Bedeutung haben die Hauptträgheitsachsen?

Unter welchen Bedingungen gilt die Beziehung L⃗ =Iω⃗ L→=Iω→\vec{L} =I \vec{\omega}? [Duplikat]

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Rätsel: Relative Bewegung zweier Punkte auf einer rotierenden Scheibe