Physikalische Bedeutung des Trägheitsmoments um eine Achse

Das 3 × 3-Massenträgheitsmoment stellt einen Tensor dar, der einen einzelnen Trägheitsradius für jede Ebene ausdrückt, die durch den Massenmittelpunkt verläuft.

Was ist ein Trägheitsradius?

Der Trägheitsradius (RGYR) drückt die Verteilung der Masse um die Rotationsachse (senkrecht zu der Ebene) als einen äquivalenten Ring oder Zylinder aus, wobei sich die gesamte Masse auf einem einzigen Radius von der Achse befindet.

Aber es tut mehr. Es definiert auch, wo sich die Schlagachse für eine bestimmte Drehung vom Massenmittelpunkt entfernt befindet.

Was ist eine Schlagachse?

Die Schlagachse, im Sport allgemein als Sweet Spot bezeichnet, ist die Achse im Raum, die beim Aufprall eine bestimmte Rotation auslöst.

Wie?

In 2D ist es irgendwie magisch. Angenommen, Sie haben einen starren Körper mit Trägheitsradius$r_G$und Sie möchten es um einen weit entfernten Drehpunkt drehen$c$vom Massenmittelpunkt. Hier ist die Skizze in der Ebene senkrecht zur Drehung

Ich habe den Trägheitsradius vom Massenmittelpunkt gezeichnet.

Befolgen Sie nun diese Schritte:

1. Zeichnen Sie Konstruktionslinien vom Rotationspunkt tangential zum Trägheitsradius und verbinden Sie die Tangentenpunkte
2. Spiegeln Sie diese Linie um den Massenmittelpunkt

Sie haben jetzt die Schlagachse definiert

$$p = \frac{I_{\rm plane}}{m c} = \frac{r_G^2}{c}$$

Beachten Sie, dass die Schlagachse ein rein geometrisches Konstrukt ist, sobald der Kreiselradius bekannt ist. Das Obige bezieht sich auf eine Pol-Polar-Abbildung in der Geometrie.

Lemma

Der Gyrationsradius auf einer Ebene kann jeden Punkt auf der Ebene (Rotationszentrum) auf eine eindeutige Linie auf der Ebene (Schlagachse) abbilden und umgekehrt. Wenn der Rotationspunkt im Unendlichen liegt (eine reine Translation), dann verläuft die Schlagachse durch den Massenmittelpunkt (eine Kraft durch CM verschiebt einen Körper). Wenn sich der Rotationspunkt im Massenmittelpunkt befindet, befindet sich die Schlagachse außerdem im Unendlichen, was ein reines Drehmoment auf den Körper darstellt. Daher dreht ein reines Drehmoment einen Körper immer um seinen Schwerpunkt.

Was ist mit 3D?

In 3D repräsentiert der 3×3-Massenmomenttensor drei Trägheitsradien und eine Masse.

$$\boldsymbol{\rm I} = m \begin{vmatrix} r_y^2+r_z^2 & -r_x r_y & -r_x r_z \\ -r_x r_y & r_x^2+r_z^2 &-r_y r_z \\ -r_x r_z & -r_y r_z & r_x^2+r_y^2 \end{vmatrix}$$

Das Obige wird in drei Hauptkreisradien um ein gedrehtes Koordinatensystem reduziert, wodurch die Kreuzterme (nicht diagonale Terme) eliminiert werden.

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Beweis der Schlaggeometrie

Betrachten Sie das Dreieck ABC von der Rotation zum Tangentenpunkt und zum Massenmittelpunkt.

Der Winkel$\theta$wird gefunden von$\sin \theta = \frac{r_G}{c}$

Betrachten Sie nun das kleine Dreieck BDC , das eine Seite hat$p = r_G \sin \theta$weil es ABC ähnlich ist .

Die Schlagachse auf dem Spiegelpunkt B' ist somit

$$\boxed{ p = r_G \sin\theta = \frac{r_G^2}{c} }$$

Ich überlasse es dem Leser zu beweisen, dass eine Kraft durch die Schlagachse auf einen ruhenden Körper ohne Reaktionskräfte eine Drehung um den Drehpunkt bewirkt .

Sie können das Trägheitsmoment anhand seiner Definition in Bezug auf die Massendichte eines Objekts berechnen, und seine Bedeutung würde daraus klar werden, aber da Sie diese Definition in Ihrer Frage nicht verwendet haben, gebe ich Ihnen einen anderen intuitiven Ansatz zum Sehen was es bedeutet.

Nehmen Sie Newtons zweites Gesetz:

$$\vec{F} = m \vec{a} \quad \Rightarrow \quad m = \frac{F}{a} \, ,$$

Das heißt, wenn Sie eine Kraft auf einen Körper anwenden und die Beschleunigung messen, erhalten Sie als Ergebnis seine Masse. Je kleiner die Masse, desto mehr Beschleunigung wird es am Ende haben.

Nehmen Sie nun Newtons zweites Rotationsgesetz, das die zeitliche Ableitung Ihrer ersten Gleichung ist:

$$\vec{\tau} = I \vec{\alpha} \quad \Rightarrow \quad I = \frac{\tau}{\alpha} \, ,$$

was im Zusammenhang mit Rotationen genau dasselbe bedeutet: Wenden Sie ein Drehmoment an, und ein Körper erhält eine Winkelbeschleunigung, und wenn Sie sie teilen, erhalten Sie das Trägheitsmoment: Je kleiner das Trägheitsmoment, desto schneller wird der Körper drehen.

Wenn Sie ausschließlich Ihre erste Gleichung verwenden möchten, folgt die gleiche Argumentation, außer dass Sie sich ändern$\vec{F} = m \vec{a}$Zu$\vec{p} = m \vec{v}$.

Das Trägheitsmoment für die Rotationsbewegung ist das, was die Masse für die Translationsbewegung ist. Es ist ein Widerstand gegen Bewegungsänderungen (ein Widerstand gegen (Winkel-)Beschleunigung).

Beide Masse $m$und Trägheitsmoment $I$sind Arten von Trägheit . Es ist „schwierig“, ein Objekt mit großer Trägheit zu bewegen.