Wie kann ich diese "verschiedenen Arten" von Hauptachsen beschreiben?

Die folgende Frage betrifft den Trägheitstensor der klassischen Mechanik, gegeben durch

$$\mathbf{I} = \begin{bmatrix} I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\ I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\ I_{zx}&I_{zy}&I_{zz} \end{bmatrix}$$

Wo sind$I_{ii}$sind Trägheitsmomente und alle$I_{ij}$sind Trägheitsprodukte . Wir definieren auch den Drehimpuls$\vec{L}$von$\vec{L} = \mathbf{I}\vec{\omega}$, Wo$\vec{\omega}$ist die Winkelgeschwindigkeit des rotierenden Körpers.

Wir sagen das, wenn eine Auswahl an Achsen$x, y, z$ergibt einen Drehimpulsvektor, der parallel zum Winkelgeschwindigkeitsvektor ($\vec{L} = \mathbf{I}\vec{\omega} = \beta\vec{\omega}$,$\beta$= const.), dann diese Achsen$x, y, z$sind die Hauptachsen des Körpers.

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FALL 1:

Okay, betrachten Sie also einen Würfel mit Seitenlänge$\alpha$dreht sich um seine Hauptdiagonale (die Rotationsachse geht durch$(0,0)$Und$(\alpha, \alpha)$). Die Integrale überspringen und nur das Ergebnis, den Drehimpuls, darstellen$\vec{L}$eines solchen Körpers ist

$$\vec{L} = \mathbf{I}\vec{\omega} = \dfrac{M\alpha^2}{12}\begin{bmatrix} 8&-3&-3\\-3&8&-3\\-3&-3&8\end{bmatrix}\omega\hat{\omega}=\dfrac{M\alpha^2}{6}\vec{\omega}$$

EDIT: Klarstellung: Die$x, y, z$Achsen sind parallel zu den Würfelkanten, mit dem Ursprung an einer unteren Ecke. Seit$\vec{\omega}$durch die Hauptdiagonale des Würfels wirkt, haben wir

$$\mathbf{I}\vec{\omega} = \mathbf{I}\dfrac{\omega}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix},$$

seit der Richtung von$\vec{\omega}$liegt vom Ursprung an einer Ecke an$(0,0,0)$zur gegenüberliegenden Ecke bei$(1,1,1)$(und ich habe diese Richtung mit einem Faktor von normalisiert$1/\sqrt{3}$). Dann können Sie sehen, dass wir mit dem oben angegebenen Trägheitstensor erhalten

$$\textbf{I}\vec{\omega} = \dfrac{M\alpha^2}{12}\dfrac{\omega}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix}2\\2\\2\end{bmatrix} = \dfrac{M\alpha^2}{12}2\vec{\omega} = \dfrac{M\alpha^2}{6}\vec{\omega}$$

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FALL 2:

Betrachten Sie als Nächstes denselben Würfel, der sich um eine beliebige Achse durch seinen Mittelpunkt dreht (ein allgemeinerer Fall des obigen), mit denselben Achsen wie oben definiert. Der Drehimpuls ist hier

$$\vec{L} = \mathbf{I}\vec{\omega} = \dfrac{M\alpha^2}{6}\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\vec{\omega} = \dfrac{M\alpha^2}{6}\vec{\omega}$$

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FALL 3:

Und schließlich stellen Sie sich einen Kegel vor, der sich um eine Achse dreht, die durch seine Spitze und durch die Mitte seiner Basis verläuft. Der Drehimpuls ist hier

$$\vec{L} = \mathbf{I}\vec{\omega} = \dfrac{3}{20}M\begin{bmatrix}R^2+4h^2&0&0\\0&R^2+4h^2&0\\0&0&2R^2\end{bmatrix}\vec{\omega} = \begin{bmatrix}\lambda_1\omega_x\\ \lambda_2\omega_y \\ \lambda_3\omega_z\end{bmatrix}$$

Wo$h$ist die Höhe des Kegels und$R$ist der Radius seiner Basis.

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Im ersten Fall ist der Trägheitstensor diagonal und hermitesch. Im zweiten Fall sind diese immer noch wahr, aber mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass der Trägheitstensor ein Vielfaches der Identitätsmatrix ist. Im letzten Fall ist der Trägheitstensor immer noch hermitesch und die Identitätsmatrix multipliziert mit einem Vektor und nicht mit einem Skalar.

Meine Frage ist; Wie diskutiere ich die Unterschiede in den "Geschmacksrichtungen" der Hauptachsen richtig? Das sind alles Hauptachsen, richtig? Denn die Winkelgeschwindigkeit zeigt in allen Fällen in die gleiche Richtung wie der Drehimpuls.

Bearbeiten: Ich habe mich geirrt, dass der Trägheitstensor des ersten Falls diagonal ist. Mein Lehrbuch besagt, dass ein Trägheitstensor, der auf der Basis von Hauptachsen ausgedrückt wird, diagonal sein muss und Null für alle nicht diagonalen Elemente hat. Dies stimmt jedoch nicht ganz mit der Definition überein, dass Hauptachsen diejenigen sind, bei denen bei der Berechnung des Trägheitstensors auf dieser Grundlage der Drehimpuls parallel zur Winkelgeschwindigkeit ist.