„Rule of 72“ für höhere Multiples?

Die Regel von 72 besagt, dass ich, wenn ich n % Zinsen verdiene, 72 durch n teilen kann und die ungefähre Anzahl von Jahren erhalte, in denen ich mein Geld verdoppeln werde.

Angenommen, ich wollte herausfinden, wie viele Jahre ich mein Geld vervierfachen kann? Wie viel Prozent Rendite müsste ich zum Beispiel jedes Jahr erwirtschaften, um mein Geld in zwanzig Jahren zu vervierfachen?

In dieser Antwort finden Sie Vergleiche dazu , wie die 72er-Regel in Bezug auf das Verdoppeln funktioniert.

Antworten (2)

Für 3X sind es ungefähr 114 und für 4X 144, was natürlich zweimal 72 ist.

Dies sind die Ergebnisse in der Nähe, Rückseite der Serviette. Mit Smartphone-Apps, die wissenschaftliche Taschenrechner anbieten, sollten Sie es sich bequem machen, einfach die n-te Wurzel einer Zahl zu ziehen, um eine genauere Antwort zu erhalten.

Update als Antwort auf Bricks Kommentar.

Die 72er-Regel besagt, dass (n)(y)=72, um Ihr Geld zu verdoppeln. Es beantwortet beide Fragen, wie viel Zeit benötige ich bei gegebener Rate und wie viel Rendite benötige ich bei gegebener Zeit?

Die Logik sagt mir, dass, wenn 72 die zu verdoppelnde Zahl ist, 144 das 4X ist. Aber ich bin ein Mathe-Typ, und meine Logik ist möglicherweise nicht logisch für OP. So -

Nehmen wir die 20. Wurzel aus 4.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Dies ist der zu verwendende Schlüssel. 4, (Taste drücken) 20, gleich. Das Ergebnis ist 1,07177 oder 7,177 %. Und dies ist der genaue Kurs, den Sie brauchen würden, um Ihr Geld in 20 Jahren zu vervierfachen) Nun ist (n)(y)= 20* 7,177 = 143,55, was auf 144 rundet. „Regel von 144“, um Ihr Geld zu vervierfachen.

Dies beantwortet nun die Frage von OP, "Wie man eine Regel von X ableitet" für eine andere Rendite als eine Verdoppelung.

Noch ein Beispiel? Ich will das 10-fache meines Geldes. Natürlich brauche ich die Anfangsschätzung, um eine Berechnung einzugeben. Leute mögen im Allgemeinen 8%. Es liegt etwas unter der langfristigen S&P-Rendite von 10 % und ist eine gute runde Zahl. Die Regel von 72 besagt, dass sich 9 Jahre verdoppeln, also sind 18 Jahre 4X und 36 Jahre 8X. Für meine anfängliche Berechnung verwende ich 40 Jahre. Die 40. Wurzel aus 10. Ich erhalte 5,925 % (wieder die genaue Rate, die das 10-fache über 40 Jahre ergibt) und wenn ich dies mit 40 multipliziere, erhalte ich eine „Regel von 237“, die ich versucht bin, auf 240 zu runden.

Bei 6 %, 237/6 = 39,5 Jahre, 1,06^39,5 = 9,99 Bei 6 %, 240/6 = 40,0 Jahre, 1,06^40,0 = 10,29

Sie können sehen, dass Sie zugunsten einer Zahl, die leichter zu merken und zu manipulieren ist, an Genauigkeit verlieren. 72 zu verdoppeln ist verdammt genau, also bleibe ich bei der "Regel von 237", um das 10-fache meines Geldes zu bekommen.

Abschließend ist der Zweck dieser Regeln, ein Tool zu erstellen, mit dem Sie einige ansonsten schwierige Berechnungen unabhängig von jedem elektronischen Gerät durchführen können. Natürlich weiß ich, wie man Protokolle verwendet, und im wirklichen Leben werde ich dafür bezahlt, sie Studenten zu erklären, die normalerweise froh sind, wenn dieses Kapitel zu Ende ist. Ich habe oben gezeigt, wie die "Rule of X" mit einer Power/Root-Taste formuliert werden kann, was für die meisten Leute einfacher ist. Ironischerweise erzwingen Protokollberechnungen, wie sie @jkuz anbietet, eine kontinuierliche Aufzinsung, die möglicherweise überhaupt nicht erwünscht ist. Es würde ein Ergebnis von 230 für mein 10X-Rückgabebeispiel und das Folgende (unter Verwendung der ersten von ihm angebotenen Gleichung) ergeben:

Bei 6 %, 230/6 = 38,3 Jahre, 1,06^38,3 = 9,31

was weiter vom gewünschten 10X entfernt ist als meine 237 oder gerundete 240.

Was meinst du mit n-ter Wurzel? Wäre es nicht log(MULTIPLE)/log(1+RATE) = x, herauszufinden, wie viele Jahre (X) Sie RATE return benötigen würden, um Ihre Rendite um den Faktor MEHRFACH zu steigern? Vielleicht fehlt mir etwas Logik.
Die 10. Wurzel aus 2, dh 2 ^ (1/10), sagt Ihnen, dass sich die Rate in 10 Jahren verdoppeln wird. Diese Mathematik ist eine niedrigere Ebene als Protokolle.
das muss ich immer wieder herleiten...
Ich habe eine Entschuldigung. Ich arbeite in einem Gymnasium. Und Exponenten/Wurzeln scheinen viel einfacher zu verstehen zu sein als das Kapitel, in dem Protokolle eingeführt werden.
Das OP stellte zwei Fragen. Der erste fragt nach der Anzahl der Jahre (vermutlich mit einer Rate ). Die zweite fragt nach dem Kurs , der für eine Anzahl von Jahren angegeben ist . Für ersteres muss er das Protokoll nehmen, wie im Kommentar von @Lan. Für letzteres haben Sie die Antwort gegeben, aber Ihr Kommentar, dass das Protokoll schwieriger ist, ist wirklich irreführend, da es entweder das richtige oder das falsche Werkzeug ist, je nachdem, welche davon Sie berechnen möchten.
@Brick - siehe meine überarbeitete Antwort.
Ich hatte meinen Beitrag bereits basierend auf Kommentaren von @Joe aktualisiert, der eine bessere Annäherung für den natürlichen Logarithmus berücksichtigt, indem Xer durch einen gemeinsamen Zinssatz beeinflusst wird. Wenn Sie einen Kurs von R=8%verwenden, erhalten Sie 239,47 - was tatsächlich Ihre Wahl der Rundung auf 240 bestätigt. +1 für die Erklärung. Bei allen Annäherungen und Abkürzungen sind die Absichten des Benutzers und die Benutzerfreundlichkeit alles Faktoren.
Würde die Anwendung der 72er-Regel nicht auch davon ausgehen, dass man kontinuierliches Compoundieren verwendet oder sich nicht darum kümmert (da wir eine Annäherung verwenden)? Nur neugierig. :)
Diese Antwort ist wirklich sehr verworren und stellt die (richtige) Antwort von @jkuz falsch dar.
@Brick Eh, ich denke, es hängt von Ihrem Anwendungsfall ab. Mit dieser Antwort können Sie mit nur einem einfachen Taschenrechner zu jeder Lösung zurückkehren. Mit meiner Antwort können Sie schneller zu einer Lösung von "Rule of X" (IMHO) gelangen, aber es erfordert eine ziemlich komplexe Berechnung. "Richtig" liegt vielleicht im Auge des Betrachters.
@jkuz Beide Antworten erfordern die Verwendung eines wissenschaftlichen Taschenrechners. Das zweimalige Drücken der „Log“-Taste erscheint mir nicht übermäßig komplizierter als das einmalige Drücken der „Power“-Taste. Ihre Herleitung ist vielleicht schwieriger, aber Sie haben allen den Dienst erwiesen, sie aufzuschreiben, um eine Lösung in geschlossener Form zu erhalten. Darüber hinaus stellt diese Antwort Ihre Antwort immer noch falsch dar, was (auch wenn es wohl komplizierter ist) definitiv richtig ist.
ln(10) ist 2,3, pro Gleichung in der Antwort von j ist es 230. Ich kann hier gut aufhören. Ich verstehe beide Methoden. @jkuz - ja, ich sehe, die zweite Gleichung, die Sie in Ihrer Antwort anbieten, ergibt ein Ergebnis von ~ 240.

Die einfache Antwort für die sogenannte „Rule of X“ würde gefunden werden durch:

X = ln(multiple of growth) * 100

In Ihrem Fall:

X = ln(4) * 100 ≈ 139

Aktualisieren:

Wenn Sie eine Annäherung wünschen, die näher am nominellen „Rule of 72“-Wert liegt, verwenden Sie diese Gleichung, die eine bessere Annäherung für den natürlichen Logarithmus enthält. Die „Rule of 72“ passt dazu bei einem Zinssatz von 7,79 % bei einem Wachstumsmultiplikator von 2:

X = ln(multiple of growth) * ( 1 + ( R / 200)) * 100

Die Regel von 72 ergibt sich aus der Annäherung an die natürlichen Logarithmen als solche:

 time =  ln(2) / ln(1+r)  ≈  0.6931/r

Das 2ist das Vielfache des Wachstums. Die Rate rhier ist nicht in Prozent, also müssen RSie mit 100 multiplizieren, um in Prozent zu wechseln (z. B. ):

 time ≈ (0.6931 * 100) / R ≈ 69.3 / R

Die Zahl 72 wird oft verwendet, weil sie einfacher gleichmäßig zu teilen ist als 69,3 und eine bessere Annäherung an den natürlichen Logarithmus und die gemeinsamen Zinssätze darstellt.

Wenn Sie mehr brauchen, finden Sie das alles auf Wikipedia:

https://en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_72#Derivation

Dies hat ein gewisses Maß an technischer Genauigkeit, gibt jedoch falsch an, warum 72 verwendet wird. (Wenn es einfach so wäre, weil es leichter zu merken ist als 69,3, warum nicht 69 oder 70 verwenden?) Die Wikipedia-Seite erklärt dies ziemlich gut.
@Joe Punkt genommen! Scheint sicherlich richtig zu sein, leichter zu teilen als 69,3, aber ich werde den anderen entfernen. Vielen Dank. Deshalb habe ich auf den Link verwiesen!
Anstatt es zu entfernen, erklären Sie vielleicht, warum es eigentlich 72 ist. (Die 69,3 ist richtig, wenn r nahe bei 0 liegt, aber ln(1+r) ~= r gilt nur für kleine r; es ist 72, weil das die richtige Antwort für ist r = 0,08, was im Bereich der üblichen Zinssätze liegt.)
@Joe wurde der Vollständigkeit halber aktualisiert. Ich stimme Ihnen sicherlich zu, aber basierend auf der ursprünglichen Frage des OP habe ich der Einfachheit halber geopfert. Vielen Dank
Für nicht-kontinuierliches Compoundieren ist 72 genauer. In 10 Jahren zu verdoppeln, erfordert 7,18 % Zinsen, die 72er-Regel sagt 7,2 % (verdammt nahe), aber Ihre 69,3 ergibt, nun ja, 6,93 % (weniger nahe).
@JoeTaxpayer Danke, deshalb habe ich den Beitrag aktualisiert. Natürlich hängt „besser“ oder „am besten“ bei jeder Annäherung stark von der Anwendung und den Erwartungen des Benutzers ab!
@JoeTaxpayer Der Unterschied zwischen 72 und 69 hat mit der Qualität der Annäherung an das Protokoll zu tun, nicht mit kontinuierlicher Verzinsung! Sie erhalten 69,3, wenn Sie die Taylor-Entwicklung um r = 0 auf einen Term nehmen. Sie erhalten 72, indem Sie einen zweiten Term für Zinssätze nehmen, die näher an 8 % liegen (dh weniger nahe an 0).
@Brick Ich bin mir meiner Beobachtung sicher. Aus diesem Grund werden 100 % über ein Jahr 172 % (171,828 %, um etwas genauer zu sein) bei kontinuierlicher Aufzinsung zurückgeben. Die erste Berechnung sollte präzise sein, wenn wir Gleichungen verwenden, oder?
@JoeTaxpayer Schauen Sie sich die Ableitung unter dem Wikipedia-Link für die Ableitung an. Es ist explizit, wie Sie die „69,3“-Regel erhalten und wie Sie die „72“-Regel unter verschiedenen Annäherungen an das Protokoll und die anderen Annahmen erhalten, die darin einfließen. Es zeigt sowohl periodisches als auch kontinuierliches Compoundieren (mit mehr Details zu periodisch).
@Ziegel. Ich tat. Ich verstehe es. Die Wiki-Seite bestätigt für den Bereich von 5-10%, dass 72 eine bessere Annäherung ist. Und wenn sich die Rate Null nähert, ist es die gleiche Mathematik wie bei der kontinuierlichen Aufzinsung, bei der 69,3 genauer ist. Und Wiki bestätigt: "Für kontinuierliches Compoundieren liefert 69 auf jeden Fall genaue Ergebnisse." Die Leser können entscheiden, welchen Weg sie bevorzugen. Mit der Allgegenwart von Smartphones und ihren Apps hat die Serviette ausgedient. Ich kann das jetzt beenden.
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