Schwarzkörperstrahlung und zweiter Hauptsatz

Question

Schwarzkörperstrahlung und zweiter Hauptsatz

vaferdolosa

Ich habe Mühe, herauszufinden, was an meinem Modell des folgenden Systems falsch ist, das das zweite Gesetz zu brechen scheint:

Stellen Sie sich zwei punktuelle perfekte schwarze Körper bei zwei Temperaturen vor $T1$ Und $T2$ . Jeder schwarze Körper ist im Zentrum eines sphärischen Spiegels perfekt isoliert, der die gesamte emittierte Strahlung darauf reflektiert. In jedem sphärischen Spiegel gibt es ein Loch, das durch die Differenz zwischen der Kugel und einem Winkelkegel definiert ist $a1$ oder $a2$ dessen Gipfel auf dem entsprechenden schwarzen Körper liegt. Die 2 Löcher stehen sich gegenüber, und Längen leiten alle Strahlen, die von einem schwarzen Körper zum anderen austreten:

Im Gleichgewicht ist der Leistungsaustausch zwischen den beiden schwarzen Körpern gleich:

$P1 = P2$

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz gibt uns:

$\sigma T1^4 S1 = \sigma T2^4.S2$ mit S1 und S2 die Oberfläche des sphärischen Lochs

$T1^4.R²/2*a1 = T2^4.R²/2*a2$ mit $R$ der Radius der sphärischen Spiegel

$T1/T2 = (a2/a1)^{1/4}$ $T1 = k.T2$ mit k in R+

Dieses Ergebnis zeigt, dass mit dem guten Wert für $a1$ Und $a2$ , kann das System für beliebige (relative) Werte für ein Gleichgewicht erreichen $T1$ Und $T2$ . Das ist wirklich beunruhigend für mich. Zum Beispiel könnte ich eine Konfiguration haben, bei der am Anfang T1 = T2 und im Gleichgewicht ist $T1>>T2$ , was das zweite thermodynamische Gesetz zu brechen scheint ... (wenn das stimmt, habe ich einen thermischen Motor zwischen die beiden schwarzen Körper gesetzt, um unbegrenzte Energie zu erzeugen ^^)

Was ist falsch an diesem Ansatz? Ich vermute, dass das Stefan-Boltzmann-Gesetz nicht so gilt, wenn der schwarze Körper bereits Strahlung empfängt, aber ich habe keine Ahnung davon

Antworten (2)

Schwarzkörperstrahlung und zweiter Hauptsatz

Tal · Answer 1

Tal

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz ist für dieses Problem das falsche Gesetz. Das Stefan-Boltzmann-Gesetz beschreibt die von einem schwarzen Körper abgestrahlte Gesamtleistung, nicht die zwischen zwei schwarzen Körpern übertragene Leistung. Das richtige Gesetz ist das Strahlungswärmeübertragungsgesetz, das sich aus dem Stefan-Boltzmann-Gesetz entsprechend eingeschränkt für die Geometrie ableiten lässt:

{\dot{Q}}_{1 \to 2} = σ A_{1} F_{1 \to 2} (T_{1}^{4} - T_{2}^{4})

$\dot Q_{1\rightarrow 2}=\sigma A_1 F_{1\rightarrow 2}(T_1^4-T_2^4)$ wo die Hauptsache, die Ihnen in Ihrem Ausdruck gefehlt hat, ist

F_{1 \to 2}

$F_{1\rightarrow 2}$ das ist der Ansichtsfaktor von Objekt 1 zu Objekt 2.

Seit $A_1 F_{1\rightarrow 2}=A_2 F_{2\rightarrow 1}$ es spielt keine Rolle, welches Objekt Sie betrachten. Du bekommst nur $\dot Q=0$ für $T_1=T_2$

vaferdolosa

Danke, aber ich stelle mir vor, dass in meinem Fall A1F1 → 2 gleichbedeutend wäre mit der Annahme, dass die ausgehende Leistung ein Bruchteil der gesamten emittierten Leistung ist, wobei dieser Bruchteil gleich der sphärischen Oberfläche des Lochs dividiert durch die Gesamtoberfläche der Kugel ist . Intuitiv scheint es mit der Annahme übereinzustimmen, dass alle emittierten Strahlen gleichmäßig um den punktuellen schwarzen Körper verteilt sind und daher nur diejenigen, die durch das Loch gehen, zum Energieaustausch beitragen. Wenn ich damit falsch liege, wie lautet die physikalische Interpretation der Austrittsleistung, die nicht proportional zum Verhältnis der Austrittsfläche ist?

Tal

@vaferdolosa

A_{1}

$A_1$ ist der Bereich von Objekt 1, der Objekt 2 „ausgesetzt“ ist und

F_{1 \to 2}

$F_{1\rightarrow 2}$ ist der Anteil der Strahlen, die austreten

A_{1}

$A_1$ das reicht

A_{2}

$A_2$ . Sowohl die Fläche als auch der Sichtfaktor sind wichtig. Zusammen sehen wir, dass jeder Strahl von Objekt 1 zu Objekt 2 einen Strahl von Objekt 2 zu Objekt 1 gibt. Das Produkt ist also in beiden Richtungen dasselbe. Sie scheinen nur darüber nachzudenken

A

$A$ und vernachlässigen

F

$F$

vaferdolosa

Ich verstehe, aber ich habe Schwierigkeiten mit "für jeden Strahl von 1 bis 2 gibt es einen Strahl von 2 bis 1". Natürlich ist dies kontinuierlich (was unendlich viele Strahlen bedeutet), also könnte es in gewissem Maße mathematisch wahr sein, aber wenn ich bedenke, dass wir diese Strahlen zählen können (was bedeutet, dass es eine endliche Anzahl von ihnen gibt), ist das System mit der größeren Öffnung sendet mehr Strahlen als der andere. Stellen Sie sich a1=45° und a2=1° vor, in meinem Verständnis A1 >> A2 während F1→2 = F2→1 = 1 (dank der Linsen geht kein Strahl "verloren"). Wo liege ich falsch? Danke für deine Geduld mit mir ^^

Tal

@vaferdolosa Dein „Dank der Linsen geht kein Strahl verloren“ ist physikalisch unmöglich. Es gibt keine mögliche Konfiguration von Spiegeln oder Linsen, die dies korrigieren würde. Seit

A_{1} / A_{2} = 45^{2}

$A_1/A_2=45^2$ Dann

F_{1 \to 2} / F_{2 \to 1} = 1 / 45^{2}

$F_{1\rightarrow 2}/F_{2\rightarrow 1}=1/45^2$ für jede Konfiguration von Objektiven. Dies ist die Etendue-Erhaltung. Es stimmt zwar, dass „das System mit der größeren Öffnung mehr Strahlen aussendet als das andere“, aber nicht alle von der großen Öffnung gesendeten Strahlen werden die kleine erreichen.

vaferdolosa

Das ist ein guter Punkt, aber ich kann mich irren, aber ich denke, ich kann eine solche Konfiguration vorschlagen: An jedem Ausgang eine Linse anbringen, deren Brennpunkt der schwarze Körper ist. Dann sind alle deine Strahlen parallel und in Zylindern mit Radius Ri enthalten, gegeben durch tan(ai) = Ri/fi => fi = Ri/tan(ai). Da Sie wissen, dass Sie zwei Linsen mit den Brennweiten f1 und f2 auswählen können, um den gleichen Radius für beide Strahlzylinder der beiden Systeme zu erhalten, richten Sie sie aus und jeder ausgehende Strahl eines Systems wird auf den anderen schwarzen Körper fokussiert. (Ich weiß nicht, ob es ohne Schema klar ist?) Wo ist der Fehler in meiner Lösung? Nochmals vielen Dank

Tal

@vaferdolosa Ich kann deine Geometrie aus der Beschreibung nicht verstehen, aber die Details sind unwichtig. Es ist einfach nicht möglich. Ich interessiere mich nicht für ein Spiel „Finde das Problem mit diesem unmöglichen Gerät“. Es ist viel einfacher, unmögliche Geräte vorzuschlagen, als zu erklären, warum sie unmöglich sind. Bitte lesen Sie über die Erhaltung von Etendue.

Tal

@vaferdolosa hier ist eine gute Referenz zu Ansichtsfaktoren. Vielleicht ist es etwas direkter nützlich als die Erhaltung von Etendue: webserver.dmt.upm.es/~isidoro/tc3/…

vaferdolosa

Vielen Dank für diese interessante Lektüre, ich habe jetzt ein besseres Verständnis der Ansichtsfaktoren. Ich kann diesen Formalismus jedoch nicht verwenden, meine schwarzen Körper sind punktuell, dh ihre Flächen sind 0 (dies kann eine Möglichkeit sein, das Problem zu erklären, ist aber nicht wirklich überzeugt). Wie auch immer, nach meinem Verständnis scheint das Integrieren über emittierter Strahlen wie ich es tue (dh das Zählen von Strahlen) der gleiche zugrunde liegende Ansatz zu sein. Und die physikalische Interpretation ist auf diese Weise offensichtlicher. Warum erhalte ich also mehr "eingehende Strahlen" als "Ausgänge"? Das Problem scheint vom optischen Peering-System zu stammen, aber was ist der Fehler in dem zuvor vorgeschlagenen?

Tal

@vaferdolosa seit

{\dot{Q}}_{1 \to 2} = σ A_{1} F_{1 \to 2} (T_{1}^{4} - T_{2}^{4})

$\dot Q_{1\rightarrow 2}=\sigma A_1 F_{1\rightarrow 2}(T_1^4-T_2^4)$ Wenn

A = 0

$A=0$ Dann

\dot{Q} = 0

$\dot Q=0$ , Problem also gelöst. Oder wenn Sie diese „pünktliche“ Anforderung lockern, können Sie die Ansichtsfaktoren wo verwenden

A_{1} F_{1 \to 2} = A_{2} F_{2 \to 1}

$A_1 F_{1\rightarrow2} = A_2 F_{2\rightarrow 1}$ , Problem also gelöst. Oder wenn Sie Raytracing verwenden, ist jeder Strahl von 1 bis 2 auch ein Strahl von 2 bis 1, also Problem gelöst.

vaferdolosa · Answer 2

Hier ist ein detaillierteres Schema, insbesondere mit dem detaillierten optischen Peering-System:

Nennen wir A die Fläche eines schwarzen Körpers (die 2 sind identisch), die Reziprozitätsregel gibt uns:

$A.F_{1\rightarrow 2} = A.F_{2\rightarrow 1}$

Auch:

$F_{1\rightarrow 2} + F_{1\rightarrow M1} = 1$

$F_{2\rightarrow 1} + F_{2\rightarrow M2} = 1$

Nach Ersatz:

$F_{1\rightarrow M1} = F_{2\rightarrow M2}$

Da die beiden schwarzen Körper die gleiche Fläche haben, würde dies bedeuten, dass die beiden Spiegel die gleiche Menge an einfallender Leistung von ihrem schwarzen Körper erhalten, während ihre Oberflächenexposition sich stark voneinander unterscheidet, während die Konfiguration dieselbe ist.

Das zeigt, dass irgendwo ein Fehler ist. Es hebt hervor, dass es sich um eine weitere Stromquelle / -quelle für unseren Spiegel handeln muss, um diese Gleichheit zu erklären.

Für mich kommt das Problem aus den punktuellen Quellen. Wenn sie einen emittierenden Außenbereich haben, bedeutet dies, dass sie nicht pünktlich sind (wie von @Dale gezeigt). Dies impliziert, dass das Bild eines schwarzen Körpers nicht perfekt das Bild des anderen (größer oder kleiner) ist. Daher können einige Strahlen den pseudo-punktuellen schwarzen Körper verfehlen, den Spiegel erreichen und wahrscheinlich zum Emitter zurückkommen, was die vorherigen Ergebnisse erklärt und warum die Modellierung des Systems falsch ist (hier kann keine punktuelle Quelle verwendet werden).

Danke @Dale für deine Hilfe, die Arbeit mit Ansichtsfaktoren hat mir geholfen, das herauszufinden

Meiner Meinung nach ist die andere Antwort vollständig und hätte akzeptiert werden sollen.
Die andere Antwort war relevant, wies jedoch nicht auf die Quelle des Problems hin (was meine Frage war), dh die Verwendung einer punktuellen Quelle für diese Modellierung, die mit dem Schwarzkörperstrahlungsmodell nicht kompatibel ist. Ob Sie dieses Problem mit Raytracing oder View Factors formalisieren, ändert nichts. Die Verwendung des Ansichtsfaktors war jedoch hilfreich, da er unerwartete Konsequenzen in der Leistungsbilanz hervorhob, wie in dieser Antwort beschrieben.

Schwarzkörperstrahlung und zweiter Hauptsatz

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