Ich verstehe, dass Atome in 3 + 1-Dimensionen gemäß der klassischen Physik instabil sein sollten, Atome jedoch in 3 + 1-Dimensionen stabil sind, da das Verhalten von Atomen von der Quantenphysik und nicht von der klassischen Physik bestimmt wird.
Ich habe zuvor gelesen, dass Atome nicht in 4 + 1-Dimensionen existieren können, aber ich bin mir nicht sicher, ob dies die Quantenmechanik berücksichtigt. Sind Atome unter Berücksichtigung der Quantenphysik in 4+1 Dimensionen möglich oder sind sie auch nach Berücksichtigung der Quantenmechanik noch instabil?
Beachten Sie zunächst, dass sich verschiedene Autoren nicht darüber einig sind, was das Coulomb-Potential sein sollte In räumlich Maße. Wir nehmen an, dass es das Gesetz von Gauß erfüllt, dh
Wir werden hier nur das quantenmechanische Wasserstoffatom mit diskutieren . Lassen Sie uns den Hamilton-Operator normalisieren als
Für eine gründliche Diskussion über unbegrenzte Operatoren , Domänen und selbstadjungierte Erweiterungen usw. siehe z. 1 und Verweise darin. Fassen wir hier die Ergebnisse zusammen:
Das Wasserstoffatom in drei räumlichen Dimensionen ist stabil und hat gebundene Zustände.
Vier räumliche Dimensionen ist ein interessanter Grenzfall, bei dem das Coulomb-Potential und das Zentrifugalpotential gleich sind Verhalten. Wenn wir eine dimensionslose Konstante definieren
: Der Hamiltonoperator (2) hat keine gebundenen Zustände, dh das Wasserstoffatom ist ionisiert.
: Der Hamiltonoperator (2) ist nach unten unbeschränkt, dh das Wasserstoffatom ist instabil.
: Es ist möglich, asymptotische Randbedingungen (ABCs) bei zu definieren / selbstadjungierte Erweiterungen des Hamiltonoperators, so dass das Spektrum nach unten begrenzt ist. Einige dieser Erweiterungen haben gebundene Zustände, andere nicht.
In mehr als vier Raumdimensionen , das Wasserstoffatom ist instabil. Grob gesagt, z das Coulomb-Potential (1) dominiert die Zentrifugalpotential bei ausreichend kleinem Radius in der Nähe des Kerns. Die Instabilität kann z. B. über die Variationsmethode rigoros nachgewiesen werden , vgl. der folgende Satz.
Satz. Ein attraktives singuläres Potenzgesetzpotential
Beweis des Satzes: Betrachten Sie eine normalisierte Gaußsche Test-/Versuchswellenfunktion
Verweise:
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Man kann zeigen, dass für kleine kompakte Dimensionen, die viel kleiner als die charakteristische Größe des Wasserstoffatoms sind (wie zB von der Stringtheorie vorhergesagt ), solche Dimensionen gemittelt werden und vom Wasserstoffatom effektiv nicht gefühlt werden können. Mit anderen Worten, man muss praktisch nur große räumliche Dimensionen berücksichtigen .
Praan
Logan R. Kearsley
QMechaniker