Sind Ereignishorizonte "geodätisch"?

Genauer gesagt sind Ereignishorizonte keine geodätischen Kongruenzen, dh sie lassen eine lokale Parametrisierung zu X μ ( T , S ich ) (mit ich = 1 , … , D − 2 ) so dass:

Für jede Konstante S ich Die X μ ( T , S ich ) Die Kurve ist eine Null-Geodäte, dh wenn v μ = ∂ X μ ∂ T , Dann v 2 = 0 Und v μ ∇ μ v v = 0 .

Äquivalent dazu, wenn ich einen Lichtstrahl auf ein beliebiges Ereignis auf einem Ereignishorizont werfe, gibt es dann immer einen Anfangsimpuls, so dass er für eine endliche Zeit (in der Vergangenheit oder in der Zukunft) am Horizont bleibt ?

Ist die Antwort außerdem für die Dimension der Raumzeit sinnvoll? Die Art des Ereignishorizonts (Schwarzes Loch, kosmologische...)?

Zuerst dachte ich, das sei per Definition offensichtlich, aber nach einigem Nachdenken wurde mir klar, dass es das wirklich nicht ist. Ein Ereignishorizont ist im Wesentlichen als eine Hülle vergangenheitsgerichteter Null-Geodäten aus der Zukunft Null Unendlich definiert, daher gibt es keinen offensichtlichen Grund, warum der Horizont selbst aus solchen Null-Geodäten bestehen sollte. (Vergleichen Sie mit dem trivialen Beispiel eines Kreises, der die Hülle der Familie aller ihn berührenden Linien ist, aber selbst keine Linie ist ...). Allerdings fällt mir kein Gegenbeispiel ein.

Antworten (2)

Ein Ereignishorizont wird immer durch Null-Geodäten generiert. Weil es als die Grenze der Vergangenheit der zukünftigen Null-Unendlichkeit definiert ist ICH + , ist es eine Null-Hyperfläche, die immer durch Null-Geodäten erzeugt wird (dh eine Null-Geodäten-Kongruenz definieren). Die einzige Feinheit, um die Sie sich kümmern müssen, sind Kaustiken, bei denen Nullgeneratoren in den Ereignishorizont eintreten und den Horizont an bestimmten Punkten weniger glatt aussehen lassen. Aber diese verderben nicht die Tatsache, dass jeder Punkt auf dem Ereignishorizont auf einer Null-Geodäte liegt, die auf unbestimmte Zeit in der Zukunft auf dem Ereignishorizont bleibt.

Einige Diskussionen darüber finden sich in Wald auf/um S. 311.

Und auf Seite 194 – es scheint, dass Satz 8.1.6 das entscheidende Ergebnis ist.

Ja, unter bestimmten Voraussetzungen. Ein Theorem von Hawking besagt, dass in einer stationären, analytischen, asymptotisch flachen Vakuum-Schwarzloch-Raumzeit der Ereignishorizont ein Killing-Horizont ist, was insbesondere bedeutet, dass es sich um eine Null-Hyperfläche handelt, was insbesondere bedeutet, dass es sich um eine Null-geodätische Kongruenz handelt.

BEARBEITEN: Die Antwort von asperanz unten ist meiner Meinung nach besser.

Bis zur Null-Hyperfläche bin ich großartig, aber warum sollte das bedeuten, dass es eine Kongruenz von Null-Geodäten ist?
Zum Beispiel, wenn ich die Oberfläche definiere X μ = ( λ , cos ⁡ λ , Sünde ⁡ λ , σ ) T im Minkowski-Raum, λ , σ Parameter, das ist eine Null-Hyperfläche ( ∂ λ ist null), enthält aber keine Null-Geodäten.
@RiccardoAntonelli Das ist ein gutes Gegenbeispiel, abgesehen von der Tatsache, dass es sich nicht um eine Hyperfläche im Sinne einer Dimension handelt N − 1 (und daher ist das Normale nicht eindeutig). Einen Beweis dafür, dass die Normale zu einer Null-Hyperfläche Null-Geodäten erzeugt, finden Sie in Harvey Realls Notizen zu Schwarzen Löchern.
ah also der Schlüssel ist die Kodimension 1! Vielen Dank, jetzt verstehe ich es.
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