Ich habe Mühe zu verstehen, woher das Problem (dh die Unmöglichkeit, herauszukommen) beim Schwarzschild-Radius kommt, um die Bewegungsgleichung für ein massives Teilchen auf einer radialen Geodäte zu lösen$\sigma$. Kurzer Kommentar zur kausalen Struktur am Ende der Frage.

Bewegungsgleichung

4-Geschwindigkeitsnormalisierung unter Verwendung der Eigenzeit ergibt

$$g(\dot{\sigma}, \dot{\sigma}) = -c^2 = - \left( 1-\frac{R_s}{r} \right) c^2 \dot{t}^2 + \left( 1-\frac{R_s}{r} \right)^{-1}\dot{r}^2$$

Der Killing-Vektor$\partial_t$liefert die Konstante der Bewegung$g(\dot{\sigma},\partial_t)$, So

$$e := \left( 1-\frac{R_s}{r} \right) \dot{t} = \text{const}$$

Wenn wir die beiden kombinieren, erhalten wir eine newtonsche Gleichung

$$\dot{r}^2 - \frac{2GM}{r}=e^2c^2-c^2 =: \epsilon = \text{const}$$ Nach diesen Skripten (Gl. 31.4) wird die Gleichung für den Fall gelöst$\epsilon =0$, was ein einfaches Potenzgesetz liefert$\tau \propto \pm r^{3/2}$. Das Minuszeichen sagt uns, dass einem Beobachter, der in Richtung Zentrum fällt, nichts Seltsames passiert, wenn er den Schwarzschild-Radius kreuzt; die Lösung$t(r)$, auf der anderen Seite, explodiert bei$R_s$, sodass ein externer Beobachter die Kreuzung nie sieht. Die Frage ist: Warum kann dieses Argument nicht umgekehrt verwendet werden? Aus$\tau \propto +r^{3/2}$der Weg hinaus scheint so glatt wie der Weg hinein. Ich habe versucht, eine Lösung für das allgemeine Integral ohne die Annahme zu zeichnen$\epsilon = 0$, aber es sieht einfach analytisch komplizierter, aber konzeptionell gleich aus.

Kausale Struktur

Ich verstehe (irgendwie), dass die richtige Einstellung für diese Frage die kausale Struktur der Raumzeit ist, so etwas wie ( aus dieser Frage )

In Schwarzschild-Koordinaten, wenn man sich das anschaut$g_{tt}$Und$g_{rr}$Teile der Metrik, sie drehen die Zeichen um$r=R_s$. Daher "innen" die$r$Richtung ist zeitgemäß und die$t$Richtung ist raumartig. Der zukunftsähnliche Lichtkegel jedes Ereignisses innerhalb des Horizonts zeigt auf kleinere Werte von$r$.

Also ich möchte beides:

1. zu verstehen, ob der Ansatz der "Bewegungsgleichung" sinnvoll ist, und
2. um den Inhalt der zitierten Antwort vollständig zu verstehen.

$\partial_t$ist außen zeithaft und innen raumhaft,$\partial_r$im Gegenteil, bisher gut. Was ist die physikalische oder geometrische Folge davon? Was bedeutet es, dass eine Richtung so etwas ist?

Bei dieser Antwort dreht sich alles um "Kippen von Lichtkegeln", aber ist dies nicht eine rahmenabhängige Aussage?

Edit: Ich denke, das ist der Kern der Frage, wenn wir von Kausalität sprechen: Wie wird die "Zukunft" in Bezug auf zeitartige und räumliche Richtungen definiert? Warum ist die Zukunft (F) in diesen Bildern "links"?

Es gibt ein paar Fragen im letzten Teil, von denen ich weiß, dass sie alle auf dasselbe Konzept hinauslaufen: Was bedeutet es, dass „Zeit“ und „Raum“ die Rolle tauschen?