Wie nah muss ein Photon an ein Schwarzes Loch herankommen, um eine volle Schleife zu machen?

Die Bewegung eines Photons in einer Schwarzschild-Raumzeit wird beschrieben durch

$$\frac{1}{L^2} \dot{r}^2 + V _{\text{eff}} (r) = \frac{1}{b^2}\,,$$ Wo $$V _{\text{eff}}(r) = \frac{1}{r} \left(1 - \frac{2GM}{r}\right) \qquad \text{and} \qquad b^2 = \frac{L^2}{e^2}$$ mit $$e = \left(1 - \frac{2GM}{r}\right) \dot{t} = \text{constant}$$ und wo schließlich alle Punkte Ableitungen in Bezug auf einen beliebigen Parameter bezeichnen$\lambda$für die Photonenbahn und$L = r^2 \dot{\varphi}$ist der Drehimpuls des Photons (der aufgrund der Rotationssymmetrie erhalten bleibt). Die festen Nummern$e$Und$L$sind die Integrale der Bewegung entsprechend der$\partial_t$Und$\partial_\varphi$Vektoren töten.

Die Quantität$b$kann als Aufprallparameter gezeigt werden , der Abstand zwischen dem BH und der asymptotischen einfallenden Photonenbahn.

Wenn dies alles eingerichtet ist, kann die Frage als solche umformuliert werden: Was ist der Wert von$b$so dass die Gesamtvariation von$\varphi$Ist$3 \pi$? ($1 \pi$würde einem geradeaus gehen entsprechen, es ist das Ergebnis, mit dem man kommt$M=0$). Außerdem, wie klein ist der Mindestwert von$r$in dieser Umlaufbahn?

Vielleicht gibt es eine clevere analytische Lösung für das Problem, aber ich werde die ODE einfach numerisch lösen.

Nach einigen Manipulationen kann das Problem umformuliert werden als

$$\frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d} \varphi^2} = - u + 3 GM u^2,$$ Wo$u = 1/r$. Als Anfangsbedingung wird hier der Stoßparameter verwendet: Das Anfangswertproblem ist$u(0) = 0$(d. h. unendlicher Radius, konkret wird eine kleine Zahl eingestellt, damit die Integration funktioniert) und$u_\varphi (0) = 1/b$.

Der Einfachheit halber drücke ich Radien in Einheiten von aus$GM$.

Die ODE ist ziemlich "finnicky", da die gesuchte Konfiguration nur in einem ganz bestimmten Bereich vorkommt$b$, die (wenn ich die Integration nicht vermasselt habe) in der Nähe ist$b \approx 5.2GM$.

Dies ist, was für eine vollständige Schleife erforderlich ist, aber tun$n$Loops entfernt Sie nicht weit von diesem Wert von$b$: Man nähert sich erst dem kritischen Wert, wenn sich das Photon asymptotisch der Photonenkugel nähert.

Für die konkrete Beantwortung der Frage ergibt sich die Konfiguration$\Delta \varphi = 3\pi$scheint zu sein$b = 5.203GM$, und der minimale Radius, der von der Umlaufbahn erreicht wird, ist ungefähr$3.09GM$(direkt über der Photonenkugel!).

Der Schwarzschild-Radius ,

$$r_s = \frac{2GM}{c^2}$$

ist die natürliche Entfernungseinheit, die man verwenden sollte, wenn man über Schwarze Löcher spricht. Es ist bequem, in Einheiten zu arbeiten, in denen$r_s=1$.

Ein Schwarzschild-Schwarzes Loch ist kugelsymmetrisch, sodass wir einfach in der horizontalen Ebene arbeiten und Photonenbahnen anhand des Schwarzschild-Abstandsparameters beschreiben können$r$und der Azimutwinkel$\phi$. Die Gleichungen sind einfacher, wenn wir den Parameter verwenden$u=\frac{r_s}r$.

Es gibt eine kreisförmige Photonenbahn genau bei$\frac32r_s$, Photonenkugel genannt, aber sie ist instabil. Wenn sich ein Photon genau in der Photonensphäre befindet, kann es dort für immer umkreisen ... in einem Universum, das nur das Schwarze Loch und dieses Photon enthält. Andernfalls wird die kleinste Störung das Photon aus der Photonenkugel stoßen.

Wir können eine Photonenbahn durch den Stoßparameter beschreiben,$b$, das ist der senkrechte Abstand vom Zentrum des Schwarzen Lochs zur Asymptote der Flugbahn. Mit anderen Worten,$b$ist der Mindestabstand (in Schwarzschild-Koordinaten) von der Photonenbahn zum Zentrum des Schwarzen Lochs, wenn die Bahn nicht durch die Schwerkraft abgelenkt würde.

Der kritische Wert des Schlagparameters ist

$$b_0 = \left(\frac{3\sqrt3}2\right)r_s$$

Ein (ungestörtes) Photon mit diesem Stoßparameter würde ewig in der Photonensphäre umkreisen.

Eine Photonenbahn in der Nähe eines Schwarzen Lochs wird vollständig von dessen bestimmt$b$und seine Initiale$r$(oder$u$) Und$\phi$.

Lassen

$$w=\frac{du}{d\phi}$$

Dann kann aus der Schwarzschild-Metrik gezeigt werden, dass

$$w^2=\frac1{b^2}-u^2+u^3$$

Das$u^3$Begriff unterscheidet eine Photonenbahn in GR von dem, was die Newtonsche Mechanik vorhersagen würde.

differenzieren,

$$2w\frac{dw}{du}=-2u+3u^2$$ $$\frac{du}{d\phi}\frac{dw}{du}=-u+\frac32u^2$$ $$\frac{dw}{d\phi}=\frac32u^2-u$$

Ein Photon in der Photonenkugel hat eine Konstante$u$, So$w=\frac{dw}{d\phi}=0$. Daher bei der Photonenkugel, aus$\frac{dw}{d\phi}=0$wir bekommen$\frac32u^2=u$, das ist,$u=\frac23$, und daher$r=\frac32r_s$, wie bereits erwähnt. (Die andere Lösung,$u=0$, entspricht einem Photon im Unendlichen).

Und von$w=0$wir bekommen$\frac1{b^2}=u^2-u^3$. Einwechseln$u=\frac23$Erträge$b_0 = \left(\frac{3\sqrt3}2\right)r_s$.

Für$b \ne b_0$(Und$b \ne 0$) kann diese Gleichung verwendet werden, um den Wert von zu finden$u$wo die Flugbahn dem Schwarzen Loch am nächsten kommt. Bezüglich$r$,

$$b^2 = \frac{r^3}{r-1}$$ in Einheiten wo$r_s=1$. In anderen Einheiten $$b^2 = \frac{r^3}{r-r_s}$$

Beachten Sie, dass die Zeit aus diesen Gleichungen eliminiert wurde, sie beschreiben nur die räumliche Struktur der Trajektorie. Natürlich hat das Photon keine Eigenzeit und das Schwarzschild$t$Der Parameter ist in der Nähe eines Schwarzen Lochs nicht sehr intuitiv, selbst wenn er die Bewegung massiver Teilchen beschreibt. Aber FWIW,

$$\frac{d\phi}{dt}=bu^2(1-u)$$

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Anfang dieses Jahres wurde ein ausgezeichneter Artikel zu diesem Thema von Albert Sneppen, Divergent Reflexionen um die Photonensphäre eines Schwarzen Lochs , in Nature's Scientific Reports veröffentlicht . Sneppen führt einen praktischen Parameter ein$\delta$, Wo$b=b_0+\delta$.

Wenn Sie ein Photon auf die Photonenkugel schießen, mit$\delta>0$es wird dem BH entkommen, wenn$\delta<0$das Photon ist dazu verdammt, den Ereignishorizont zu überschreiten. In jedem Fall, wenn$|\delta|$ausreichend klein ist, kann das Photon das Schwarze Loch einmal oder mehrmals umkreisen.

Sneppen hat eine schöne Formel gefunden, die sich darauf bezieht$\delta$auf die Anzahl der Umläufe eines Photons. Wenn eine Flugbahn mit einem gegebenen$(u_0,\phi_0,\delta_0)$umkreist der BH dann einmal eine Flugbahn mit$(u_0,\phi_0,\delta_0e^{-2\pi n})$ist fast identisch, außer dass es den BH umkreist$n+1$mal.

Hier sind einige Beispiele, mit$\phi_0=40°, r_0=\frac{b}{\sin{\phi_0}}$. Dieser Wert ist eine vernünftige Annäherung für diese Diagramme, aber ich sollte wirklich finden$r_0$durch Integrieren der Bewegungsgleichungen (mit$w$Und$\frac{dw}{d\phi}$) aus$\phi=0$Zu$\phi=\phi_0$.

Ich werde verwenden$\delta_0=0.003349145847$weil es dafür eine schöne symmetrische Flugbahn gibt$\phi_0$.

Hier ist die 1-Schleife-Fluchtbahn, mit$\delta=\delta_0$.

Hier ist die Fluchtbahn mit 2 Schleifen, mit$\delta=\delta_0e^{-2\pi}$.

Hier ist der 1 Loop Capture Orbit, mit$\delta=-\delta_0$.

Hier ist der 2-Loop-Capture-Orbit, mit$\delta=-\delta_0e^{-2\pi}$.

Hier ist eine Umlaufbahn mit 1 Schleife, die zu ihrem Ausgangspunkt zurückkehrt, mit$\delta=0.0000133371604, \phi_0=90°$, verwenden$2880$Schritte.

Der Ereignishorizont des Schwarzen Lochs ist der graue Kreis mit Radius 1, die Photonenkugel ist der grünliche Kreis mit Radius 1,5. Die gepunktete horizontale Linie oben in den Diagrammen ist die Asymptote zur Photonenbahn für eine Photonenkugelbahn (dh das Photon wird horizontal aus dem Unendlichen gestartet), also ist sein Abstand zum Zentrum des BH$b_0$.

Es ist möglich, Trajektorien mit mehr Schleifen zu zeichnen, aber es ist sehr schwierig, den Unterschied zwischen einer Zeichnung mit 2 Schleifen und einer mit mehr Schleifen zu erkennen.

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Wenn Sie mit diesen Photonenbahnen experimentieren möchten (z. B. um zu sehen, was mit ungeraden Vielfachen von passiert$\pi$), hier ist eine Live-Version des Sage/Python-Skripts, das ich zum Erstellen dieser Diagramme verwendet habe und das auf dem SageMathCell-Server ausgeführt wird. Das Programm berechnet Trajektorien unter Verwendung der Yoshida-Version 4. Ordnung der Leapfrog-Integration .

Hier ist eine kurze Beschreibung der Eingabesteuerelemente des Skripts.

deltaund phi_0entsprechen$\delta$Und$\phi_0$. Das Programm verwendet$r_0=\frac{b}{\sin{\phi_0}}$, also die Initiale$y$Koordinate gleich$b$und das Photon wird (fast) horizontal in Richtung BH geschossen, anfänglich (fast) parallel zu der gepunkteten Linie, die auf gesetzt ist$y=b_0$. Alle Winkel müssen in Grad eingegeben werden.

Der angleParameter gibt an, wie weit Sie die Flugbahn zeichnen möchten. Wenn also phi_040 und angle320 ist, stoppt die Flugbahn bei 360 Grad, der X-Achse. Es kann früher gestoppt werden, wenn es in den BH fällt oder sein Radius den Anfangsradius überschreitet.

maxstepsbestimmt die Genauigkeit der Integration. Für kleine Deltas benötigen Sie eine große maxsteps. Es ist am effizientesten, maxsteps zu verdoppeln (oder zu halbieren). Für ganz klein$|\delta|$, verlieren die Berechnungen maxstepsaufgrund von Gleitkommafehlern an Genauigkeit, selbst bei einem großen Wert.

Das doubleKontrollkästchen sagt, dass 2 Trajektorien für die gegebenen delta, phi_0, und berechnet werden sollen angle. Die blaue Trajektorie verwendet die doppelte Schrittgröße der roten Trajektorie. Wenn die beiden Trajektorien übereinstimmen, sind sie genau. Das Programm kann den Fehler des berechneten Endradius aus den beiden Trajektorien abschätzen (solange die Trajektorien im gleichen Endwinkel enden).

Wählen Sie diese Option dots, um für jeden berechneten Punkt einen Punkt zu zeichnen. Punkte, die zu nahe am vorherigen Punkt liegen, werden nicht gezeichnet. Wählen Sie curvediese Option aus, um die Flugbahn mit kubischen Bézier-Kurven (die berechneten$w$Werte werden verwendet, um die Bézier-Kontrollpunkte zu bestimmen).

Wählen Sie diese Option aus svg, um das Diagramm als SVG-Vektorgrafik (und nicht als PNG) zu rendern. Diese Option macht das SVG auch über einen Link verfügbar.

sizesteuert die Größe des Diagramms.

Das Programm verwendet einen Cache der Größe 4. Wenn Sie also die Anzahl der Schritte verdoppeln, kann es die vorherige rote Trajektorie für die neue blaue recyceln. (Und umgekehrt, wenn Sie halbieren maxsteps). Und wenn Sie nur kosmetische Änderungen vornehmen, dh die Punkte, die Kurve, das SVG oder die Größe ändern, kann es die zwischengespeicherten Trajektorien verwenden.

Die numerischen Eingabefelder akzeptieren Ausdrücke in Sage/Python-Syntax, sodass Sie (zum Beispiel) 1/50*exp(-2*pi)in das deltaFeld oder 100 + 360*2in angleoder 90 * 2^10in eingeben können maxsteps. Sie können die Konstante verwenden, d2rum Bogenmaß in Grad umzuwandeln, z. B. 3*pi/d2r. Sage hat viele eingebaute Funktionen, also experimentieren Sie ruhig oder konsultieren Sie die Dokumentation .