Dies ist eine Erweiterung meiner vorherigen Frage , als ich versuchte, die Mathematik zu machen, um die folgende Aussage zu beweisen:
Wenn man 12 reine Quinten nach oben geht, braucht man 7 Oktaven nach oben plus ein Viertel eines Halbtons mehr
12 reine Quinten nach oben zu gehen, entspricht einem Zyklus im Quintenzirkel (oder genau dem Quintenzirkel C1-G1-D2-A2-E3-B4-F#4-C#5-G#5-D#6-A#7-E#7-C8). Da jede Quinte ein Frequenzverhältnis von 3/2 hat und bei 12 reinen Quinten im Kreis, sollte die Endfrequenz (3/2)^12 or 129.75etwa 1.75höher sein als die der 7. Oktave bei gleicher Stimmung, die 2^7 = 128.
Wenn ich richtig gerechnet habe, sollte der Multiplikationsfaktor von 1,75 einem Viertel eines Halbtons mehr entsprechen , ist es aber nicht! Ich habe versucht, den 1.75zusätzlichen Faktor mit einem Halbton im gleichen Temperament und dem in der pythagoräischen Tonleiter zu vergleichen, und keiner passt zu dieser Aussage.
Vergleich mit einem gleichschwebenden Halbton Das
Verhältnis zwischen benachbarten Halbtönen ist immer 2^(1/12) or 1.059. Ein Viertel davon ist . Ein Viertel davon ist 1.059/4 = 0.265. Nun ... nicht einmal annähernd1.752^[1/(4*12)] = 1.0145.
Vergleich mit einem pythagoräischen Halbton
Wenn ich einen Halbton zwischen C und seinem nächsten/benachbarten C# wähle, sollte ihr Verhältnis (3/2)^7 / 2^4 = 2187 / 2048 = 1.068. Etwas näher am Wert von immer noch nicht ganz da.1.75, aber
Wie wird dieser viertel Halbton extra abgeleitet?
Das Problem ist, dass Intervalle Verhältnisse sind, daher ist die Verwendung der Subtraktion zur Berechnung des "zusätzlichen" Intervalls (Frequenz) die falsche Operation.
Das "zusätzliche" Intervall ist ~ 1.014 .
(3/2) 12 / 2 7
= 129,746337890625 / 128
= 1,0136 432647705078125
Ein viertel Halbton ist
In gleicher Stimmung ~ 1,015
(2 1/12 ) 1/4
= 2 1/48
= 1,0145 453349
In pythagoräischer Stimmung ~ 1,013
(256 / 243) 1/4
= 1,05349794238683127572 1/4
= 1,0131 142475
Die Differenzen sind also nur Rundungsfehler.
Die Tonhöhe nimmt mit dem Logarithmus der Frequenz zu, was Berechnungen etwas unintuitiv macht. Aus diesem Grund wird die Tonhöhe oft in Cent-Einheiten angegeben, die additiv sind.
Anzahl der Cent-Intervalle zwischen den Frequenzen fund f₀wird berechnet als
x = 1200 · log₂(f/f₀).
Zum Beispiel eine Oktave oder f/f₀ = 2hat 1200·log₂(2) = 1200·1 = 1200Cents.
Ein gleichschwebender Halbton f/f₀ = 2⁽¹/¹²⁾hat 1200·log₂(2⁽¹/¹²⁾) = 1200·1/12 = 100Cents.
Ein perfektes Fünftel, definiert als f/f₀ = 3/2hat 1200·log₂(3/2) ≈ 701.96Cents.
Zwölf solcher Quinten haben einfach 12 mal mehr Cents, 1200·log₂[(3/2)¹²] = 12·1200·log₂(3/2) ≈ 12·701.96 ≈ 8423.46während 7 Oktaven 7·1200 = 8400Cents haben. Der Unterschied zwischen 8423,46 und 8400 beträgt 23,46 Cent, was einem Viertel eines Halbtons von 25 Cent entspricht.
Tom
Tom
KMC
x, habe ich am Ende des Kreises die Frequenzx * 129.75oderx * (128 + 1.75). Das1.75 * xist das Extra (oder Überschwingen) von der Oktave128 * x. Diese 1,75 ist der Multiplikationsfaktor dieses zusätzlichen Überschwingens.KMC
Tom
KMC
Tom
KMC
1.75 * 128 = 224bedeutet? Das scheint keine Bedeutung zu haben. Die zusätzliche Frequenz finden Sie unterx (128 + 1.75) = 128x + 1.75x = frequency@octave + extraTom