Warum sind C♯ und D♭ unterschiedliche Frequenzen?

Ich bin ein Musikbegeisterter und habe kürzlich gelesen, was der Unterschied zwischen äquivalenten Flat- und Sharp-Tasten in Bezug auf die Musiknotation ist? Gibt es Gründe, das eine dem anderen vorzuziehen?

Dieser Teil kam mir seltsam vor:

C♯ und D♭ unterscheiden sich tatsächlich um 41 Cent voneinander

Soweit ich weiß, sollten zwischen C und D 2 Halbtöne liegen. Außerdem liegt C♯ einen Halbton über C und D♭ einen Halbton unter D. Daher sollten C♯ und D♭ gleichwertig sein. Wenn ja, wie können C♯ und D♭ tatsächlich um 41 Cent voneinander abweichen?

Das meiste, was Musiker zu dieser Art von Thema sagen, ist nicht wahr. Leute, die Musikpsychologie studieren, haben die tatsächliche Intonation professioneller Sänger und Streicher gemessen, und die Realität unterstützt die meisten Aussagen, die Menschen traditionell über diese Dinge gemacht haben, nicht. Die Behauptung, dass sich C# und Db um 41 Cent unterscheiden, ist besonders lächerlich.
Als ich das unter den heißen Netzwerkfragen sah, dachte ich, sie sind C#und db, und ich war wie was? oO Ja, ich bin Programmierer:)
Es gibt verschiedene Spielweisen, und nicht alle Musiker spielen immer in gleicher Stimmung (insbesondere Streicher und professionelle Sänger). Je nach Stil und Akkord ist es bei solchen Musikern üblich, auf reine Intonation umzuschalten. Die meisten wahrscheinlich nicht die meiste Zeit, aber Studien können unmöglich beweisen, dass es nicht passiert. Ob das stimmt, was die meisten Musiker zu diesen Themen sagen, ist allerdings eine andere Frage.
@DarrenRinger Sicher, eine Studie konnte nicht beweisen, dass keine Musiker nur in Intonation spielen, aber sie könnten sicherlich zeigen, dass so etwas nicht "üblich" ist.
@KyleStrand Ich stimme zu, ich habe nur Anstoß genommen an der Aussage: "Menschen, die sich mit Musikpsychologie befassen, haben die tatsächliche Intonation professioneller Sänger und Streicher gemessen, und die Realität unterstützt die meisten Aussagen nicht, die Menschen traditionell darüber gemacht haben Dinge." denn erstens wird nicht erklärt, was diese Aussagen sind , und zweitens ist die Realität trotz aller falschen Dinge, die die Leute sagen, so komplex, dass solche Studien wahrscheinlich nichts davon im Allgemeinen widerlegen, außer wenn sie auf Überverallgemeinerungen angewendet werden.
@BenCrowell - Die Behauptung, dass sich C # und Db um 41 Cent unterscheiden, ist besonders lächerlich - möchten Sie Ihre Behauptung erklären und dokumentieren? Die Einführung des gleichschwebenden Stimmungssystems als „Standard“ in der westlichen Musik ist ziemlich neu, und selbst heute noch unterscheiden viele virtuose Musiker und Dirigenten zwischen verschiedenen Intervallen, die wir normalerweise als enharmonische Äquivalente bezeichnen. Wie Dave in einem früheren Kommentar erklärt hat, sind in der pythagoräischen Stimmung C# und Db – um nur ein Beispiel zu nennen – unterschiedliche Intervalle , und das ist nur der Anfang der Geschichte.
@BenCrowell Leute, die Musikpsychologie studieren, haben die tatsächliche Intonation professioneller Sänger und Streicher gemessen - es ist zu Recht die Domäne von Akustikingenieuren und Physikern, nicht von Psychologen. Vielleicht haben sie es deshalb falsch verstanden, was sie mit Sicherheit getan haben.
@Dave Ich bin mir nicht sicher, ob Db und C # in der pythagoräischen Stimmung 41 Cent voneinander entfernt sind. Eine pythagoreische Quinte ist nur ~1,955 Cent breiter als eine reine Quinte in 12TET. Wenn Sie 12 solcher Quinten (von Db bis C#) stapeln würden, gäbe es nur einen Unterschied von ~ 23,46 Cent. Eine Differenz von 41 Cent von 12TET würde ungefähr 21 solcher Quinten erfordern, die zusammengestapelt sind, und diese beiden Noten wären sowieso nicht enharmonisch.
Was ich in all diesen Antworten und Kommentaren vermisse, sind einige Beispiele für tatsächliche Frequenzen. IE "in reinem 12TET sind das erste C ♯ und D ♭ ab 440 Hz beide XXX Hz, aber in Pythagoräisch ist eines YYY und das andere ZZZ Hz." Das würde mir helfen, mir vorzustellen, was der Unterschied ist.
@KyleStrand: Während BenCrowell keinen konkreten Hinweis auf die Studien gibt, die er meint, können wir nur spekulieren, aber ich stimme Stinkfoot zu, dass diese mit ziemlicher Sicherheit nicht zeigen, dass nur die Intonation „nicht üblich“ ist. Was sie wahrscheinlich zeigen, ist, dass die von diesen Musikern verwendeten Tonhöhen zu keiner einzelnen JIT-Skala wesentlich besser passen als zur „Nullhypothese“ von 12-edo. Das heißt aber nicht, dass einzelne Noten nicht JIT-korrigiert werden, sondern dass es vom Kontext abhängt, welche Korrektur gewählt wird. Wenn Sie viele Noten zusammenwerfen, erscheinen die Korrekturen zufällig, sind es aber nicht.
@MrLister John Gowers hat einige gute konkrete Berechnungen angestellt – nicht für Pythagorean (was, wie ausführlich argumentiert wurde, hier ziemlich irrelevant ist), sondern für Ptolemäic JIT. Ich kann später heute einen umfassenderen numerischen Vergleich hinzufügen.
@teletypist Sie haben Recht, also ist "Bei der pythagoräischen Stimmung unterscheiden sich C # und Db um etwa 23 Cent" eine durchaus sinnvolle und wahre Aussage.
@MrLister erledigt .

Antworten (9)

Die verknüpfte Antwort ist ein bisschen chaotisch, und es ist ein übliches Chaos, das die Leute machen.

Wenn wir über die genauen Frequenzen jeder Tonigkeitsklasse sprechen, müssen wir die Stimmung und eine Referenztonhöhe kennen. Zum Beispiel ist die gleichschwebende 12-Ton-Stimmung (12TET) mit A4=440Hz ein Standard in der modernen Musik. Aus diesen beiden Parametern können wir die genaue Frequenz jeder möglichen Note extrapolieren.

12TET ist heutzutage fast allgegenwärtig (zumindest in der westlichen Musik), aber es klingt nicht so sauber wie Just Intonation (JI). Im Wesentlichen hat 12TET jede Taste gleich unvollkommen klingen lassen. JI erstellt eine Skala, in der die Intervalle in den Primärakkorden alle sehr schöne einfache Verhältnisse sind, und die Akkorde daher sehr sauber erklingen, aber es funktioniert nur in dieser Tonart. Wichtiger Hinweis: Innerhalb einer gegebenen JI-Stimmung hat jede der 12 Tonigkeiten immer noch nur eine einzige Frequenz. Es gibt keinen Unterschied zwischen C ♯ und D ♭ in beispielsweise "pythagoreischer Stimmung basierend auf A mit A = 440 Hz".

Aber die meiste Musik bleibt nicht in einer Tonart. Während ein Klavier Tonhöhenanpassungen nicht im laufenden Betrieb vornehmen kann (weshalb wir uns darauf geeinigt haben, 12TET dafür zu verwenden), können die meisten Instrumente in einem Orchester dies. Wenn das Stück also in A-Dur steht, verwendet das Orchester JI und passt C♯ etwas flacher an als bei Verwendung von 12TET. Aber dann, wenn das Stück nach f♯-Moll moduliert, fangen sie an, es leicht scharf zu spielen.

Wenn Leute sagen, dass C♯ nicht dasselbe wie D♭ ist, meinen sie wirklich (ob sie es erkennen oder nicht), dass der Kontext zu unterschiedlichen Mikroanpassungen führen kann. In C-Dur könnte ein C♯ die Terz eines A-Dur-Akkords sein, vielleicht eine sekundäre Dominante des ii-Akkords, während D♭ der Grundton des neapolitanischen Akkords sein könnte. Dies würde zu unterschiedlichen Tuning-Wahlen führen.

(bearbeitet aus Kommentarvorschlägen, einige Kommentare sind jetzt verwaist)

In der Alten Musik stimmt der Cembalist sein Instrument auf die gespielte Tonart ... und wenn sich das Stück zu weit von dieser Tonart entfernt, werden die Harmonien als "knackig" bezeichnet, was ein seltsam passender Begriff ist, nachdem man sie gehört hat.
Pythagoräisch klingt für die meisten westlichen Musikstücke wirklich schlecht (nämlich für alles, was Dur-Akkorde verwendet, weil wir diese als 5-Limit, nicht 3-Limit hören) und praktisch nicht von 12-edo für 3-Limit-Musik zu unterscheiden (wie Gregorianischer Choral, viel östlicher Musik und Metal). Ich denke, was Sie eigentlich meinen, ist die ptolemäische Stimmung , was normalerweise mit „nur Intonation“ gemeint ist. Das ist die Stimmung, bei der C♯ flacher ist als in 12-edo, damit es als große Terz zu A schön klingt.
Müssen Sie sich nicht zwischen C# (exklusiv) oder Db entscheiden? -- es hängt davon ab, in welche Richtung Sie Ihren Quintenrücken verlängern möchten. Anders ausgedrückt: Es gibt ein Db links von C auf dem Quintenrücken und ein C# rechts auf dem Quintenrücken, und Sie mussten eines auswählen, auch wenn Sie musikalisch die C#-Note in ersetzen ein Kontext, in dem Sie es funktional zu einer Db machen.
Ich bin nicht gut genug auf Klarinette (oder Bassklarinette), um die Stimmung ihrer Noten im Handumdrehen zuverlässig zu ändern. In allen Schulbands, in denen ich gespielt habe (3 Konzertbands und 2 Jazzbands), hat keine von ihnen spontan die Stimmung geändert.
@Dekkadeci würdest du es überhaupt wissen? Streicher, Sänger und Flötisten leisten unbewusst viel korrigierende Intonationsarbeit. Bei Schilf bin ich mir nicht sicher ... tatsächlich habe ich einige ausdrückliche Anweisungen des Dirigenten für Oboen und Klarinetten gesehen, Terzen etwas flacher zu spielen, also sind Schilf wahrscheinlich von Natur aus etwas starrer als 12-Edo. Auf jeden Fall ist reine Intonation eine Sache in klassischen Orchestern.
Reine Intonation ist auch eine Sache in fast jedem Chor- oder Gamben-Consort oder beim Singen zu einer Drehleier oder in einer Reihe anderer musikalischer Situationen. Wenn es möglich ist, die großen Terzen zu stimmen, tun es die Leute sehr oft, um sie von den klirrenden 12TET und den verstümmelnden pythagoreischen abzuweichen.
@leftaroundabout, selbst als ich die 12. Klasse abschloss, konnte ich immer noch nicht das ganze Quietschen von meiner Bassklarinette beseitigen, also konnte ich mich nicht auf das spontane Stimmen konzentrieren und ich konnte Ihnen nicht sagen, ob eine Anpassung ich mit meinem Mund gemacht, ließ die Bassklarinette flacher, schärfer werden oder gleich bleiben.
Wie bei unique würde ich es vermeiden, ubiquitous mit Gradmodifikatoren wie very zu qualifizieren . Denn ubiquitär bedeutet nicht nur häufig oder weit verbreitet, sondern an allen möglichen Orten, überall. Etwas ist entweder allgegenwärtig oder nicht. Sie könnten stattdessen schreiben, dass 12TET heutzutage extrem verbreitet ist oder weltweit weit verbreitet ist oder so ähnlich. Sagen Sie nur, dass es allgegenwärtig ist, wenn Sie wirklich meinen, dass es überall verwendet wird, weil es nirgendwo nicht verwendet wird, und lassen Sie selbst dann das .
Ich möchte den Kommentar von @leftaroundabout wiederholen. Auf keinen Fall meinen Sie in Ihrer Antwort wirklich die pythagoreische Stimmung. Am nächsten an einer einfachen großen Terz in der pythagoräischen Stimmung ist 81:64, 407 ¢, was sogar noch breiter als gleichschwebend temperiert und ziemlich disharmonisch ist. Als Teil von Triaden fallen sie auffallend aus. Für Musik, in der Terzen als Konsonanzen behandelt werden, ist die 5:4 große Terz der ptolemäischen Stimmung (386¢) weitaus effektiver. Ich glaube nicht, dass es den Punkt ändert, den Sie machen, nur der spezifische Name.
Um den Kommentar von @tchrist zu ergänzen, ist " fast allgegenwärtig" angemessen und wahrscheinlich das, was hier gemeint ist.
Wichtiger Hinweis: Innerhalb einer gegebenen JI-Stimmung hat jede der 12 Tonigkeiten immer noch nur eine einzige Frequenz. Es gibt keinen Unterschied zwischen C ♯ und D ♭ in beispielsweise "pythagoräischer Stimmung basierend auf A mit A = 440 Hz".

Die kurze Antwort ist, dass für 12-Ton-gleichschwebendes Temperament (12TET), das De-facto-Stimmungssystem für westliche Musik, Db und C# genau gleich klingende Note sind . Wie genau diese Note für eine bestimmte Oktave klingt, hängt auch von der Tonhöhenreferenz ab, die typischerweise A4 = 440 Hz ist.

Laut 12TET zerlegen wir die Oktave in 12 gleiche Verhältnisse. Da eine Oktave ein Verhältnis von 2:1 ist, wird das Verhältnis von einer Note f1zur Note 1 Halbton höher f2als f2 = f1*2^(1/12)mit berechnet 2^(1/12) ~= 1.059463.

Während dies bei weitem das gebräuchlichste Stimmsystem ist, dem Sie begegnen werden (zumindest in einem westlichen Kontext), ist es nur ein Stimmansatz und relativ modern im Vergleich zu vielen Alternativen, denen Sie möglicherweise begegnen, einschließlich des in der Frage erwähnten pythagoräischen Systems referenziert (das, wie sein Namensvetter andeutet, Tausende von Jahren alt ist).

Das pythagoreische Stimmsystem verfolgt den Ansatz, jede Note zu bestimmen, indem die perfekte Quinte unter Verwendung des Verhältnisses von 3:2 oder dem 1,5-fachen der Referenzfrequenz berechnet wird. Abgesehen davon, dass es sich um ein einfaches Verhältnis handelt, ist dieses Stimmsystem tatsächlich sehr einfach zu implementieren, da diese genaue Frequenz (streng 3:1, eine Oktave höher als 3:2) bereits in der harmonischen Reihe der Referenznote für die meisten Musikinstrumente vorhanden ist (Saiten- und Blasinstrumente einschließlich der menschlichen Stimme). Dies gilt sicherlich für Geiger, die ihre Saiten (die im Abstand von reinen Quinten liegen) nach dieser Methode stimmen.

Eine perfekte Quinte bei pythagoräischer Stimmung beträgt jedoch ungefähr 702 Cent, im Gegensatz zu genau 700 Cent bei 12TET. Wenn Sie ewig auf diese Weise stimmen, werden Sie nie wieder dieselbe Tonhöhe erreichen . 3^nWenn Sie um den Quintenzirkel stimmen, werden Sie Brüche mit größeren Dreierpotenzen über größeren Zweierpotenzen aufbauen, 2^mund es gibt keine Möglichkeit, dass dieser Bruch jemals gleich 1 (der Referenztonhöhe) wird, außer wenn m = n = 0, dh die Referenztonhöhe, mit der Sie begonnen haben .

Wenn wir die Verhältnisse von G aus berechnen (da G in beiden Richtungen die am weitesten entfernte Tonhöhe von C # / Db ist), würde das Aufsteigen in Quinten wie folgt aussehen:

G -> D (3/2) -> A (9/4) -> E (27/8) -> B (81/16) -> F# (243/32) -> C# (729/64)

Wenn wir in die andere Richtung zurückgehen (d.h. um reine Quinten nach unten), sieht es so aus:

G -> C (2/3) -> F (4/9) -> Bb (8/27) -> Eb (16/81) -> Ab (32/243) -> Db (64/729)

Wenn wir die resultierenden Brüche so normalisieren, dass sie innerhalb derselben Oktave auftreten, ergibt sich C# at 729/1024 ~= 0.71191vs. Db at 512/729 ~= 0.70233, was offensichtlich anders klingen wird. Ich habe die Differenz zwischen diesen Banknoten mit 23,46 Cent berechnet, nicht mit den in der Referenzfrage erwähnten 41 Cent.

Um diese Zahlen ins rechte Licht zu rücken: Wenn wir davon ausgehen, dass A 440 Hz beträgt, dann können wir die Referenz G als zwei perfekte Fünftel entfernt bei 8/9 x 440~391,11 Hz bestimmen. Mit diesem G können wir das pythagoreische Db und C# direkt unter diesem G finden, indem wir die obigen Verhältnisse bei ~274,689 Hz bzw. ~278,436 Hz verwenden. Vergleichen Sie dies mit 12TET mit A4=440Hz, wir hätten G knapp darunter bei ~391,995Hz und das enharmonische Db/C# bei ~277,183Hz.

Es ist unwahrscheinlich, dass Sie auf eine Situation stoßen, in der C# und Db aus mehreren Gründen tatsächlich nur 23,46 Cent voneinander entfernt klingen. Der erste und offensichtlichste Grund ist, dass 12TET in westlichen Musikkontexten allgegenwärtig ist. Die meisten modernen Bundinstrumente (Gitarren/Bässe) und Tasteninstrumente (Klavier, Orgel usw.) sind nach 12TET gestimmt.

Selbst in dem seltenen Fall, dass Sie eine Gruppe von Sängern haben, die a cappella spielen, wie zum Beispiel in einem Barbershop-Quartett, werden sie sich dank des tonalen Gedächtnisses wahrscheinlich nicht allzu weit von der konventionellen Stimmung entfernen. Im Grunde genommen können sogar Menschen ohne perfekte Tonhöhe eine gewisse Erinnerung an Tonhöhen haben, so dass die „natürlicheren“ Stimmsysteme, wie die Pythagoräische, durch ihre Erinnerung an die 12TET-Tonhöhen modifiziert werden, die sie wahrscheinlich ihr ganzes Leben lang gehört haben.

Wie schon gesagt,

  • Der Beitrag, nach dem Sie gefragt haben, bezieht sich speziell auf C♯ und D♭ in der pythagoreischen Stimmung .
  • Die Diskrepanz von 41 ct ist falsch,keine ahnung wie das zustande kamSiehe unten .
  • Die pythagoräische Stimmung ist nur eines von mehreren Just-Intonation-Systemen.

Tatsächlich sind also nicht nur C♯ und D♭ unterschiedliche Noten, es gibt tatsächlich mehrere verschiedene Noten, die Sie C♯ nennen könnten! Um eine bessere Vorstellung von den verschiedenen Möglichkeiten zu geben, hier ein Überblick darüber, wie diese Töne in den verschiedenen Stimmungssystemen mit ganzzahligen Frequenzverhältnissen aufgebaut werden können, immer beginnend bei C, und wie die Ergebnisse im Vergleich zu 12-edo aussehen.

http://nbviewer.jupyter.org/gist/leftaroundabout/b0708139f867a160579f14c0b04caeb8

Pythagoräisch, aufwärts

Konstruiert nur aus reinen Quinten aufwärts und Quarten abwärts (oder äquivalent nur Quinten aufwärts mit Oktavkompensation).

onKeyboard $ constructNote PreferSharps [3/2, 3/4, 3/2, 3/4, 3/2, 3/4, 3/4]

C♯ konstruiert in pythagoräischer Stimmung

Pythagoräisch, abwärts

Quinten nach unten und Quarten nach oben.

onKeyboard $ constructNote PreferFlats [4/3, 4/3, 2/3, 4/3, 2/3]

D♭ in pythagoräischer Stimmung konstruiert

Sie sehen also, dieses D♭ ist 24ct flacher als das pythagoräische C♯.

Ptolemäisch, aufwärts

Konstruiert aus Quinten und nur großen Terzen nach oben / Quarten nach unten.

onKeyboard $ constructNote PreferSharps [3/2, 3/4, 5/4, 3/4]

C♯ konstruiert in ptolemäischer Stimmung

Beachten Sie, dass dies flacher ist als die 12-Edo-Tonhöhe. Tatsächlich ist es dem pythagoreischen D♭ viel näher als dem pythagoreischen C♯!

Es gibt eine alternative Konstruktion, die noch viel flacher ausfällt:

onKeyboard $ constructNote PreferSharps [4/3, 5/4, 5/8]

C♯ konstruiert in ptolemäischer Stimmung über zwei Terzschritte

Das ist ziemlich extrem, ich bezweifle, dass irgendein klassischer Musiker jemals so tief C♯ spielen würde. Aber hier scheinen wir, wie Herr Lister in den Kommentaren betonte, die 41ct aus Doriens Antwort gefunden zu haben , nämlich wenn wir dieses C♯ mit der nächsten Option für D♭ vergleichen:

Ptolemäisch, abwärts

Hier erreichen wir D♭ sehr schnell, nach nur einer Quarte aufwärts und einer großen Terz abwärts:

onKeyboard $ constructNote PreferFlats [4/3, 4/5]

D♭ in ptolemäischer Stimmung konstruiert

Also what the hell , darf man sich an dieser Stelle fragen. Was ist jetzt die richtige Version?

Nun, es kommt auf den Kontext an! Doch obwohl dies oft behauptet wird – für klassische westliche Musik ist die pythagoreische Stimmung nicht sehr relevant. Diese Musik macht starken Gebrauch von Harmonien, die auf Dur-Akkorden basieren , und Dur-Akkorde machen nur in ptolemäischer Stimmung Sinn, nämlich als Verhältnisse 4:5:6, verglichen mit Pythagoreans 64:81:96. (Niemand kann tatsächlich Frequenzverhältnisse mit so hohen Zahlen nach Gehör unterscheiden!)

Als Faustregel kann man also sagen, dass C♯ etwas flacher ist als D♭ . Die Literatur bestätigt dies, zB Leopold Mozart :

...alle durch das (♭) erniedrigte Töne um ein Komma höher als die durch das (♯) erhöhte Noten. ZB Des ist höher als Cis; As höher as Gis, Ges höher als Fis usw

Übersetzung:

Alle mit (♭) erniedrigten Töne sind ein Komma höher als die (♯)-erhöhten Töne. ZB ist D♭ höher als C♯; A♭ höher als G♯, G♭ höher als F♯ usw.

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Mit anderen Worten: Es gibt keine einzige Regel, die man anwenden kann, um die perfekte Frequenz für einen bestimmten benannten Ton abzuleiten, man sollte immer genau hinhören, was tatsächlich am besten klingt.

@MrLister, die ursprüngliche Frage und die darin zitierte Antwort beziehen sich auf die pythagoreische Stimmung, und unter diesem System beträgt der Unterschied zwischen C # und Db 23,46 ct. 41ct ist einfach falsch, nur unter diesem System.
@MrLister guter Fang, daran habe ich nicht mehr gedacht. Auch diese Zahl hat absolut nichts mit pythagoräischer Stimmung zu tun, aber wahrscheinlich auch nicht mit irgendeiner geraden Intonation, die tatsächlich in der klassischen Musik verwendet wird. Abweichungen von 41 ct liegen im Bereich von Blue Notes, arabischer Mikrotonalität etc.
"Des ist höher als Eis" Das ist doch sicher ein Tippfehler, mit Cis statt dessen?
@Richard du hast natürlich recht. Das war ein Lesefehler. „𝕯𝖊𝖘 𝖎𝖋𝖙 𝖍𝖔̈𝖍𝖊𝖗 𝖆𝖑𝖘 𝕮𝖎𝖘“ ... Fraktur ist lächerlich.
@leftaroundabout Ich kenne die Kämpfe. Ich habe viele Stunden damit verbracht, LaTeX mit Fraktur zu kompilieren, um das Lesen zu üben :-)

Das erste, was Sie verstehen müssen, ist, dass Sie die Frequenz mit einer bestimmten Zahl multiplizieren , wenn Sie um ein konstantes Intervall nach oben gehen möchten .

Um beispielsweise um eine Oktave nach oben zu gehen, multiplizieren Sie die Frequenz mit 2. Da die Multiplikation mit 2 die einfachste Multiplikation ist, die wir durchführen können, klingt dies angenehm für das menschliche Ohr – so angenehm, dass wir sogar lernen, die beiden zu hören Notizen als die gleichen.

Wenn wir um zwei Oktaven nach oben gehen wollen, multiplizieren wir wieder mit 2, für eine kombinierte Summe von 4 mal die ursprüngliche Frequenz. Usw.

Aber es gibt noch andere nette Zahlen, mit denen wir die Frequenz multiplizieren können. Wenn wir zum Beispiel mit 3 multiplizieren, gehen wir um eine Oktave und eine Quinte nach oben. Um eine Quinte zu erhalten, gehen wir die Oktave zurück, indem wir durch 2 dividieren, also entspricht eine Quinte einer Multiplikation mit einem Faktor von 3/2.

Wenn wir mit 5 multiplizieren, gehen wir um zwei Oktaven und eine große Terz nach oben. Ein Drittel entspricht also der Multiplikation der Frequenz mit dem Faktor 5/4.

Terzen, Quinten und Oktaven sind grundlegend für die westliche Musik, und alle anderen Intervalle sind aus ihnen aufgebaut. Der Grund, warum sie so schön und übereinstimmend klingen, liegt darin, dass sie aus sehr einfachen Multiplikationen aufgebaut sind.

Wenn wir beispielsweise bei beginnen Cund mit multiplizieren 5/4, erhalten wir E, und wenn wir erneut mit multiplizieren 5/4, gehen wir ein weiteres Drittel nach oben bis G♯. Wenn wir nun durch dividieren 3/2, um um ein Fünftel nach unten zu gehen, erhalten wir C♯. Der Gesamtmultiplikator ist

5/4 * 5/4 * 2/3 = 25/24 = 1,041666 ...

Wenn wir stattdessen mit multiplizieren 2, erreichen wir ein Hoch C. Wenn wir jetzt durch dividieren 3/2, gehen wir um ein Fünftel nach unten zu F. Wenn wir jetzt durch dividieren 5/4, gehen wir um ein Drittel nach unten D♭. Der Gesamtmultiplikator ist

2 * 2/3 * 4/5 = 16/15 = 1,06666 ...

Da diese beiden Zahlen so ähnlich sind, kann man leicht zwischen den Noten C♯und verwechselt werden D♭.

'Jetzt halt dich fest!' Ich höre dich sagen. ' C♯und D♭sind nicht nur ähnliche Noten - es ist die gleiche Note ! Immerhin belegen beide dieselbe Taste auf meiner Klaviertastatur!'

Das ist eigentlich ein sehr cleverer musikalischer Trick. Damit Klaviertastaturen Sinn machen, können sie C♯und nicht D♭als separate Noten behandeln, zumindest nicht, wenn sie so etwas Schreckliches vermeiden wollen:

Vicentinos Split-Key-Tastatur

Dies ist als Tastatur mit geteilten Tasten bekannt, wie sie im 16. Jahrhundert verwendet wurde, als sie dieses Zeug noch herausfanden

Stattdessen müssen wir Noten annähern , damit wir eine Tonleiter mit nur zwölf verschiedenen Tönen erstellen können. Also haben wir am Ende einen Schlüssel für C♯und D♭. Durch Drücken dieser Taste kann ein C♯, ein D♭oder etwas dazwischen abgespielt werden.

Eine Auswahl von Annäherungen wird als Temperament bezeichnet, und bis zur klassischen Periode wurden viele verschiedene Temperamente verwendet. Der Titel von JS Bachs „Das wohltemperierte Klavier“ bezieht sich auf eine solche Stimmung.

Verschiedene Musiker hatten unterschiedliche bevorzugte Temperamente. Eine gemeinsame Eigenschaft war, dass bestimmte Tonarten (normalerweise „weiße“ Tonarten wie C-Dur) sehr rein und konkordant klangen, während andere eher falsch und würzig klangen. Dies wurde manchmal als wünschenswertes Merkmal einer Temperatur angesehen: Verschiedene Tonarten hatten unterschiedliche Charaktere.

Die auf modernen Klavieren fast durchgängig verwendete Temperatur ist viel langweiliger, aber auch vielseitiger. Es wird „Equal Temperament“ genannt, und sein Name bedeutet, dass alle Halbtöne auf der Tastatur genau im selben Intervall voneinander entfernt sind. Ein gleichschwebender Halbton ist genau ein Zwölftel einer Oktave, also entspricht er der Multiplikation der Frequenz mit

die zwölfte Wurzel aus 2 = 1,05946309436....

(Beachten Sie, wie dies zwischen dem 1.041666und 1.0666liegt, das wir zuvor berechnet haben!)

Wie klingt nun eine gleichschwebende Quinte? Nun, es klingt wie die zwölfte Wurzel von 2, die in die siebte Potenz erhoben wird (da eine perfekte Quinte aus sieben Halbtönen besteht):

2 ^ (7 / 12) = 1,49830707688...

Durch einen brillanten mathematischen Zufall ist dies fast genau gleich 3/2. Es gibt also keinen hörbaren Unterschied zwischen einer Quinte auf einem Klavier ( 1.498...) und einer Quinte, die Sie natürlich singen würden ( 1.5).

Was ist mit der großen Terz? Eine große Terz sind vier Halbtöne, was entspricht

2 ^ (4/12) = 1,2599...

Dies ist immer noch ziemlich nah an 5/4 = 1.25, aber jetzt ist der Unterschied hörbar (es gibt einige Tonaufnahmen auf https://en.wikipedia.org/wiki/Major_third , die Sie sich anhören können). Eine große Terz auf einem Klavier unterscheidet sich merklich von einer großen Terz, die Sie natürlich singen würden.

In den meisten Fällen müssen Sie sich darüber beim Musizieren nicht allzu viele Gedanken machen, aber es lohnt sich, manchmal daran zu denken.

Es gibt eine reine Stimmung, bei der Intervalle in einfachen Frequenzverhältnissen stehen und der harmonischen Reihe folgen. Es gibt sehr schöne Akkorde, aber nur in einer Tonart. Schlüssel ändern, Sie müssen neu kalibrieren. Und plötzliche Tonartwechsel, die die heutige Musik oft macht, können etwas seltsam klingen. Es gibt also ein Kompromisssystem, gleichschwebende Stimmung, bei dem alle Halbtöne gleich sind. Es ist nie ganz richtig, aber es ist nicht ZU falsch, und unsere Ohren haben sich daran gewöhnt. Das ist, was ein Klavier verwendet. Es muss, wirklich!

Ja, wenn Sie willkürliche Modulation zulassen wollen, brauchen Sie eine Art Temperament. 12-edo ist jedoch nicht die einzige Option. 31-edo hat viel schönere Terzen und Sexten, es ist auch eine mitteltönige Stimmung, also funktioniert die ganze Theorie, einschließlich Modulationen, ziemlich auf die gleiche Weise. Aber es hat C♯ und D♭ als unterschiedliche Noten!

Der Schlüsselsatz in dieser Antwort, den Sie verpasst haben, war "In der pythagoreischen Stimmung …". Wie der Wikipedia-Artikel sagt,

Die sogenannte „pythagoräische Stimmung“ wurde von Musikern bis Anfang des 16. Jahrhunderts verwendet. "Das pythagoreische System scheint aufgrund der Reinheit der Quinten ideal zu sein, aber andere Intervalle, insbesondere die große Terz, sind so stark verstimmt, dass Dur-Akkorde als Dissonanz angesehen werden können."

Aufgrund des Wolfsintervalls wird diese Stimmung heute nur noch selten verwendet, obwohl sie vermutlich weit verbreitet war.

Grundsätzlich ist der Unterschied zwischen C♯ und D♭ heute vor allem von historischem und theoretischem Interesse. Gerade wegen unbequemer Diskrepanzen wie dieser 41-Cent-Differenz zwischen Enharmonischen bevorzugt fast die gesamte moderne Musik andere Stimmungssysteme .

Dieser Wikipedia-Artikel ist nicht korrekt: Es gibt keine Beweise dafür, dass Musiker bis zum Beginn des 16. Jahrhunderts die pythagoräische Stimmung verwendeten. Zu dieser Zeit war die große Terz als Konsonantenintervall gut etabliert, was es in seiner pythagoräischen 81/64-Gestalt ganz sicher nicht ist.
@ScottWallace Wenn das, was Sie sagen, wahr ist, ist die pythagoreische Stimmung noch irrelevanter als je zuvor.
ja. Ich würde sagen, dass die pythagoreische Stimmung nur insofern relevant ist (mit Ausnahme einiger Rand-Xenoharmonisten), als sie als reine fünfte Stimmung anerkannt wird, die irgendwie etwas temperiert werden muss.

John Gowers erklärte in seiner Antwort, wie die Intervalle CC♯ und CD♭ die Frequenzverhältnisse 25:24 und 16:15 haben können. 25:24 sind ~70,67 Cent und 16:15 sind ~111,73 Cent. Die Differenz beträgt 41,06 Cent und bestätigt damit den vom OP zitierten Text.

Wir sollten nicht von einer pythagoräischen Stimmung ausgehen, also alle Intervalle aus Oktaven und reinen reinen Quinten aufbauen (Frequenzverhältnis 3:2). Die pythagoräische Stimmung ist eine Möglichkeit, aber nicht die einzige verfügbare.

Noch weniger sollten wir von 12ET ausgehen, bei dem die einzig möglichen Intervalle Vielfache eines 100-Cent-Halbtons sind.

eine allgemeine Überlegung:

  • jede einzelne enharmonische Frequenz hat eine andere Frequenz als die andere;

Die Leute ignorieren das in den meisten Fällen entweder:

  • weil es nicht praktikabel ist, verschiedene Tonhöhen zu machen, zum Beispiel auf einer Geige oder auf einer Flöte oder auf einer Trompete oder auf einer E-Gitarre, Gesang was auch immer

einfach, weil das physikalisch extrem schwer zu bewerkstelligen ist. oder:

  • denn bei einem Instrument wie zum Beispiel einem Klavier laufen die Tonhöhen normalerweise in derselben Tonart zusammen.

aber theoretisch sollte jede einzelne enharmonische Tonhöhe ihre eine Intonation haben, die je nach Note sein sollte:

  • 5-10 Cent maximaler Abstand untereinander;

Es kommt auf die Stimmung an. In 31-TET gibt es 5 Schritte der Größe 5 und 2 Schritte der Größe 3 in der C-Dur-Tonleiter. Ein Kreuz oder B hebt eine Note um die Größe 2 an . Folglich liegt C♯ eine 31. Oktave unter D♭, was 1200 Cent/31 = 38,7 Cent Differenz ergibt. Nun, fast da.

Die ursprüngliche Aussage spricht vermutlich von einer Form der pythagoreischen oder reinen Stimmung, aber es ist nicht klar, welche Tonleiter und Stimmung für die Aussage verwendet werden.

Warum sind C♯ und D♭ unterschiedliche Frequenzen?
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