Warum sind die Frequenzverhältnisse der Noten in den pythagoräischen Tonleitern 9/8 und 256/243?

Wenn sich der 3/2-Faktor über 7 Halbtöne erstreckt, muss das Verhältnis zwischen jedem benachbarten Halbton x^7 = 3/2oder sein x = (3/2)^(1/7).

Das gilt, wenn alle Halbtöne gleich groß sind, aber nicht, wenn Sie reine Quinten verwenden und auch den Quintenkreis auf einer Standard-12-Ton-Tastatur schließen möchten. ¹

Die pythagoräische Stimmung ist kein irrationales System. Die Halbtöne in der pythagoräischen Stimmung sind nicht der (geometrische) siebte Teil von 1,5. Vielmehr wird jeder Ton im 3/2-Verhältnis gefunden, wobei gegebenenfalls die Oktave um den Quintenzirkel herum angepasst wird. C zu G ist also 3:2, G zu D ist 3:2 und C zu D ist 9:4. Das ist jedoch eine große Neunte, die mehr als eine Oktave ist. Wenn Sie also durch 2 teilen, um die große Sekunde zu erhalten, erhalten Sie 9:8. A ergibt sich durch erneutes Multiplizieren mit 3:2, also 27:16, und E ergibt sich durch erneutes Multiplizieren mit 3:4, also 81:64. Machen Sie weiter und Sie erreichen schließlich B♯, das nicht dasselbe ist wie C, mit einem Wert von 3 ¹² :2 ¹⁷ .

Unterwegs treffen Sie C♯ bei 3 ⁷ :2 ¹¹ , und wenn Sie das quadrieren, erhalten Sie C-Doppelkreuz bei 3 ¹⁴ :2 ²² , was nicht dasselbe ist wie D bei 9:8. Das reine Pythagoräische System schließt den Quintenzirkel nicht; es ist eher eine Spirale.

Wenn Sie Ihren Ansatz verwenden, die Quinte von C nach G in sieben gleiche Halbtöne zu teilen, dann hat die Quinte zwischen G und D nicht ein Verhältnis von 3:2, sondern von 1,497. Das ist ein Haar kleiner (etwa 3,35 Cent) als ein pythagoreisches Fünftel.

Fußnote 1: Sie können alle Halbtöne gleich haben, wenn Sie die Oktave natürlich in 12 gleiche Teile teilen, was eine gleichschwebende Zwölftonstimmung ist, aber dann sind die Quinten ein klein wenig kleiner als 3:2.

Hier gibt es ein paar verschiedene Probleme. Wie Phoog feststellt, liebten die Pythagoräer rationale Zahlen. Für sie waren "irrationale Zahlen" (wie verschiedene Wurzeln von 2 oder 3/2) na ja ... irrational .

Phoog bemerkt auch, dass Sie auf ein Problem stoßen, wenn Sie eine Reihe von perfekten Quinten zusammenfügen. Wenn Sie ein 3:2-Verhältnis verwenden und 12 reine Quinten durchlaufen, müssen Sie theoretisch bis zu sieben 2:1-Oktavverhältnisse addieren, damit sich der "Kreis der Quinten" schließt. Aber du nicht. Keine Potenz von 3:2 wird Ihnen eine Potenz von 2:1 geben.

Die Frage setzt voraus, dass dieses 3: 2-Verhältnis eher absolut als die 2: 1-Oktave ist, aber das verursacht immer noch Probleme beim Stimmen von Skalen.

Der Grund , warum die pythagoräischen Tonleitern typischerweise die in der Frage angesprochenen besonderen Verhältnisse haben (9:8 und 256:243), hat mit der altgriechischen Methode zur Ableitung von Tonleitern zu tun, die auf perfekten Quarten basierte, im Verhältnis 4:3. Die Griechen hatten viele Möglichkeiten, eine Quarte in verschiedene Noten aufzuteilen. Aber ein „diatonischer“ Weg bestand darin, „Ganztöne“ zu verwenden, die typischerweise auf ein Verhältnis von 9:8 abgestimmt waren. Warum 9:8? Denn 9:8 ist der Unterschied zwischen einer 3:2 reinen Quinte und einer 4:3 reinen Quarte. (Teilen Sie 3/2 durch 4/3 und Sie können dies sehen.)

Wenn Sie also die reine Quarte aufteilen, besteht eine Möglichkeit darin, zwei 9: 8-Ganztöne zu verwenden. Aber dann ist das letzte Intervall, das Sie erhalten, ungefähr ein Halbton. Das tatsächliche Verhältnis, das zur Vervollständigung der reinen Quarte von 4:3 erforderlich ist, kann gefunden werden, indem zwei Ganztöne entfernt werden. Also, 4/3 geteilt durch 9/8 geteilt durch 9/8 ergibt 256/243. Daraus ergibt sich das andere Verhältnis.

Die Frage geht davon aus, dass alle Halbtöne gleich groß sind. Dies war keine Annahme im antiken Griechenland, obwohl es eine Annahme im modernen gleichschwebenden Temperament ist. Stattdessen begannen die Griechen damit, die wichtigen Intervalle wie eine 2:1-Oktave, eine 3:2-Quinte und eine 4:3-Quarte zu stimmen. Dann würden sie die "Lücken" wie oben beschrieben ausfüllen.

Um die (irrationalen) Verhältnisse für eine moderne 12-Ton-Tonleiter mit gleicher Temperatur zu finden, müssten Sie das Oktavverhältnis (2:1) in 12 Teile teilen, also 2 1/12: ¹ . Dadurch erhalten Sie das korrekte gleichschwebende Halbtonverhältnis, beachten Sie jedoch, dass sieben davon aus den in meinen ersten Absätzen genannten Gründen auch kein genaues 3: 2-Verhältnis ergeben.

Es gibt ein wichtiges mathematisches Theorem, das den Problemen mit der Abstimmung zugrunde liegt. Das Fazit ist, dass es keine „perfekte“ Abstimmung gibt. Das Theorem besagt, dass es keine Potenz von 2 gibt, die gleich einer Potenz von 3 ist (mit Ausnahme der Nullpotenz, die in beiden Fällen 1 ist). Tatsächlich gibt es keine Potenzen von Primzahlen, die einander gleich sind, außer P^0=1. Tatsächlich gibt es außer 8 und 9 keine Potenzen von Primzahlen, die nahe beieinander liegen.

Dies impliziert, dass kein Stapel von Quinten gleich einem Stapel von Oktaven ist (ersetzen Sie Oktaven oder Quinten durch Terzen, Sexten usw.).

Die pythagoreische Stimmung arbeitet mit Quintenstapeln im Verhältnis 3/2. Zwei gestapelte Quinten ergeben 9/8 (wobei die Intervalle gegebenenfalls durch Oktaväquivalenz auf zwischen 1 und 2 reduziert werden), was eine große Sekunde ergibt (CG und GD ergeben CD). Das Stapeln von 2 großen Sekunden ergibt 81/64 für eine pythagoräische große Terz; Die "nur" große Terz sollte jedoch 5/4 sein. Der Unterschied ist hörbar und wird mit anderen Intervallen schlimmer. Selbst das Einwerfen eines 5/4-Verhältnisses in die "Basis" -Verhältnisse hilft nicht gerade. Eine Gitarre ist auf EADGBE gestimmt (3 Quarten, eine Terz und eine Quarte, was 2 Oktaven ergeben sollte). Die Quarte ist das Komplementärintervall zur Quinte mit einem Verhältnis von 4/3 (die Umkehrung von 3/2 reduziert auf zwischen 1 und 2). Nach Gehör (Hören von Schlägen) kann man jede Quarte und die Terz leicht stimmen, dann sind die beiden Es verstimmt. Mathematisch,4/3* 5/4*4/3=320/81, aber zwei Oktaven sollten 4/1 (oder 320/80) sein. (Nebenbei bemerkt, einer meiner Gitarristen, der eine perfekte Tonlage hatte, fand das ärgerlich, als er versuchte zu stimmen.)

So werden Kompromisse eingegangen, die den gesamten Bereich des Temperaments preisgeben. Gleichschwebende Stimmung löst die Probleme der Gleichbehandlung von Intervallen, ergibt aber möglicherweise nicht so schöne Intervalle.

Wenn man die folgende Folge von Intervallverhältnissen für eine Dur-Tonleiter verwendet, ergibt das Produkt der Verhältnisse tatsächlich 2:1 - 9:8, 10:9, 16:15, 9:8, 9:8 , 10:9, 16:15. Diese großen und kleinen Sekunden können tatsächlich entweder von Pythagoras oder Obertönen abgeleitet werden. Unter Verwendung einer C-Tonleiter ist 9:8 D:C, 10:9 ist E:D, 16:15 ist der Halbton C:B und Sie haben das untere Tetrachord. Verbinden Sie es mit einem weiteren 9:8 mit dem oberen Tetrachord und, voila! Intervalle, die sich zu einer perfekten Oktave addieren.