Ich studiere Physik im Grundstudium. Schon früh war ich eine Person, die dachte, Mathematik sei „logisch“, und daher sind ihre Anwendungen auf der Welt keine wirkliche Überraschung, da Mathematik so „selbstverständlich“ ist. Aber ich fange an, dies zu hinterfragen.
Die Dinge, die in der Mathematik selbstverständlich sind, sind die Dinge, die sich auf die natürlichen Zahlen beziehen. Aber ich denke, es wird haariger, wenn man versucht zu interpretieren, was $5^frac{1}{\pi}$ bedeutet. Mit $\pi$ zu beginnen, ist eine irrationale Zahl, und irrationale Potenzierung ist meiner Meinung nach so unintuitiv. $5^pi$ ist die Zahl, deren Kernwurzel 5 ist, ich finde das einfach verrückt.
Oder nehmen Sie Dinge wie die negative Potenzierung, die so künstlich definiert erscheint, dass Sachen wie $e^{x}e^{-x}=1$ wahr werden. Um ein konkreteres Beispiel zu geben: Wenn Sie eine Differentialgleichung mit einem Masse-Feder-System lösen, kann Ihre Lösung komplexe Zahlen enthalten, die auf Sinus und Cosinus reduzierbar sind, aber dennoch über komplexe Zahlen sprechen, die so künstlich definiert erscheinen .
Daher habe ich derzeit Probleme, mein Verhältnis zur Mathematik zu interpretieren. Wie soll man die Leichtigkeit interpretieren, mit der es auf die Welt übertragen wird? Als Selbstverständlichkeit oder als Eigenschaft der Welt? Früher habe ich Mathematik als eine Art Schachspiel betrachtet, aber ich beginne zu denken, dass es angemessener ist, sie als Wissenschaft zu betrachten, bei der wir tatsächlich Experimente durchführen und beobachten, und jede neue Anwendung von Mathematik auf die Welt ist eine große Überraschung nicht selbstverständlich.
Danke, dass du mich erträgst. Ich denke, ich habe mehr Gedanken dazu, aber ein langer Beitrag könnte ziemlich langweilig sein.
Wie soll man die Leichtigkeit interpretieren, mit der es auf die Welt übertragen wird?
Es hat so viele Jahre gedauert, bis die Menschen Mathematik entwickelt haben, und sie geht immer noch weiter und wird weitergehen. Es mag sich jetzt sehr einfach anfühlen, Mathematik in unserem täglichen Leben zu verwenden, aber wir haben dieses Stadium der Leichtigkeit über einen sehr langen Zeitraum erreicht, aufgrund einiger sehr tiefer Gedanken vieler Menschen über diesen langen Zeitraum. Um Ihre Frage zu beantworten, sollten Sie also die Leichtigkeit als Ergebnis eines enormen Aufwands über einen langen Zeitraum interpretieren. Das erinnert mich an ein Zitat – „Auf den Schultern von Riesen stehend“.
Als Selbstverständlichkeit oder als Eigenschaft der Welt?
Wenn etwas (in diesem Fall Mathematik) Teil unseres täglichen Lebens wird, in Bezug darauf, wie einfach es in unserem täglichen Leben zu verwenden ist und wie "offensichtlich" es erscheint, zusammen mit der Tatsache, dass wir in der Lage sind, viele Phänomene zu beschreiben Wenn wir Mathematik verwenden (Beispiel: Physik), neigen wir dazu zu glauben, dass „was auch immer“ diese Welt erschaffen hat, auf derselben Mathematik basieren muss, an die wir gewöhnt sind. IMHO ist dies nur eine kognitive Voreingenommenheit des Menschen. Das Universum basiert nicht auf Mathematik, stattdessen haben wir ein Werkzeug/eine Sprache namens Mathematik entwickelt, die zu unseren kognitiven Fähigkeiten und ihren Grenzen passt und es uns ermöglicht, die Welt um uns herum zu verstehen und zu erforschen.
Das hängt davon ab, was Sie denken, Mathe ist.
Aus intuitionistischer Sicht ist Mathematik das Studium menschlicher Idealisierungen. Und es gibt keinen guten Grund, überrascht zu sein, dass wir nach Millionen von Jahren des Versuchs und Irrtums eine wirklich starke Intuition entwickeln würden, die es uns ermöglichen würde, viel von der natürlichen Welt zu verstehen. Auch nicht, dass wir, sobald wir Sprache und ausreichend Zeit hatten, um nach innen zu verweilen, nicht in der Lage sein sollten, diese Intuitionen über Tausende von Jahren in präzise Sprachformen zu verwandeln.
Die Ökonomie der Mathematik ist mir manchmal auffallend: dass so viele Teile davon wirklich nur andere Teile in unterschiedlichen Formen sind. Aber ich würde das der Tatsache zuschreiben, dass wir uns in einer sehr geordneten Ecke des Universums befinden, verglichen mit dem, was sein könnte.
Wenn Sie denken, dass Mathematik irgendwie unabhängig von der menschlichen Psychologie ist und nicht von den kollektiven Modellierungswerkzeugen, die ihr zur Verfügung stehen, dann wird das konsistente Zusammentreffen von Fakten und Formen viel mystischer. Aber dann wird dieses große Rätsel zu einem guten Grund, diese Unabhängigkeit in Frage zu stellen.
Aus diesem Blickwinkel sind die Konventionen, die Sie so bizarr finden, größtenteils genau das, Konventionen, wenn wir sie über Generationen ausgearbeitet haben und die so ziemlich von Geburt an gemacht werden. Die Idee, dass wir uns die Multiplikation komplexer Zahlen als Skalierung und Rotation vorstellen können, hat viel mit der relativen Dürftigkeit unserer eigenen einfachen Bewegungsmodelle zu tun und nicht so sehr mit der unabhängigen Realität. Schließlich wollten wir wirklich kreisförmige Planetenbahnen. Wenn wir Wellen modellieren wollen, bemühen wir uns sehr, sicherzustellen, dass sie in Bezug auf die Komponenten einer Drehung ausgedrückt werden. Und als wir uns entschieden, Partikel zu modellieren, „fanden“ wir, dass sie eine Rotationsträgheit haben, obwohl ihre Rotation 720 Grad betragen muss, und sich relativ wenig wie eine tatsächliche Rotation verhält. Sobald Sie die wirkliche Unbeholfenheit dieser Vorstellung sacken lassen,
Wenn Sie Schritt für Schritt vorgehen, von '2 Potenz 4' über '2 Potenz 3/4' zu '2 Potenz Pi' und sogar zu '2 Potenz i' (Potenzieren mit reinem Imaginärexponenten), werden Sie wahrscheinlich bei jedem stehen bleiben neue Art der Abstraktion. Jedes Mal werden Sie versuchen, Ihre Vorstellungskraft nach der Plausibilität der Operation und des Ergebnisses zu fragen. Versuchen Sie zB, sich etwas vorzustellen
e**(i*pi)= -1.
Die Ansicht ändert sich, wenn man die ganze Exponentialfunktion in einer betrachtet, nämlich exp: Reelle Zahlen ---> Reelle Zahlen, definiert als exp(x):= e Potenz x. Anscheinend ist das eine stetige und sogar differenzierbare Funktion, die für alle reellen Argumente definiert ist. Aber mehr noch: Sie können den Definitionsbereich problemlos auf die Menge der komplexen Zahlen erweitern, zB indem Sie die Potenzreihenentwicklung der Exponentialfunktion betrachten. Was man für plausibel hält, hängt also davon ab, welches Niveau man in dem jeweiligen Bereich bereits erreicht hat.
Ich betrachte komplexe Zahlen nicht als künstlich definiert. Und für mich ist es nicht notwendig, komplexe Potenzierung durch Reduktion über exp(iz) = cos z + i sin z auf trigonometrische Funktionen zu legitimieren. Ich halte es für eine tiefe Einsicht von Gauß, dass allein durch die Einführung einer einzigen imaginären Zahl 'i' komplexe Zahlen als z = x + iy abgeleitet werden und jedes Polynom so viele Nullen erhält, wie der Grad des Polynoms anzeigt.
Mathematik ist nicht selbstverständlich. Denn Evidenz hängt immer davon ab, inwieweit man sich mit der Materie auskennt und wie tief man in das gegebene Problem eingedrungen ist. Warum Mathematik zur Lösung realer Probleme geeignet ist, ist immer noch eine offene Frage, siehe Wigners Artikel, der in Alexis' Kommentar zitiert wird.
Mathematik wird so leicht auf die "reale Welt" angewendet, weil sie genau zu dem Zweck entwickelt wurde, "Probleme" zu lösen, die von Spezifika abstrahiert sind.
Alexis
DLV
stoicfury
Volker Siegel