Sollte man Wittgenstein etwas Anerkennung für Gödels Unvollständigkeitssatz zusprechen?

Question

REX

Gibt es einen Zusammenhang zwischen Wittgensteins Argument gegen die „Typentheorie“ und dem Beweis von Gödels Unvollständigkeitssatz? Da ich nur halbwissend bin, werde ich die Verbindung ziehen, an die ich denke: Es scheint, dass Gödels Beweis darauf beruht, Symbole als Zahlen zu bezeichnen, während Wittgensteins Argument ist, dass Sie so etwas in Russels Theorie der Typen nicht tun können. Vielleicht ist die Verbindung tiefer, als ich mir vorstelle, oder vielleicht irre ich mich, wenn ich versuche, eine solche Verbindung herzustellen.
War es wirklich Wittgensteins Argument gegen die Typentheorie, das den logischen Positivismus so drastisch veränderte? Wenn nicht, was geschah dann vor Gödels Beweis, der die analytische Philosophie davon abhielt zu glauben, sie könne die Sprache axiomisieren? Ich frage das, weil mir klar scheint, dass Gödels Unvollständigkeitstheorem dieses Projekt gestoppt hätte.
Sollte man Wittgenstein etwas Anerkennung für Gödels Unvollständigkeitssatz zusprechen?

Michael Dorfmann · Answer 1

Ja, es gibt einen Zusammenhang, wie Sie sagen. Im Tractatus schreibt Wittgenstein:

3.332 Kein Satz kann etwas über sich selbst aussagen, weil das Satzzeichen nicht in sich selbst enthalten sein kann (das ist die ganze "Typenlehre").

Wie Sie wissen, hat Gödel genau das getan.
Wittgensteins Argument gegen die Typentheorie ist einer von vielen Faktoren, die den logischen Positivismus verändert haben. Russells „Friseur-Paradoxon“ war ein anderes. Wenn Sie die Geschichte des logischen Positivismus interessiert, würde ich Ihnen einen entzückenden Graphic Novel namens Logicomix empfehlen , der das Gebiet gut abdeckt.
Nicht wirklich.

Ich dachte, Russells Typentheorie sollte Paradoxien bei der Erstellung von Mengen vermeiden. War Ws Argument gegen die Typentheorie in TLP oder später? (Die Zeitleiste der 'Änderungen' ist für mich verwirrend?
Die kurze Antwort lautet, dass die Geschichte des logischen Positivismus auch die Geschichte seiner Auflösung ist. Russells „Barber-Paradoxon“ wies auf Probleme mit der Mengenlehre hin, also erfand er die Typentheorie, um zu versuchen, das anzugehen. Wittgenstein fand Probleme in der Typentheorie (im Tractatus und danach); Gödel entwickelte später seinen eigenen Angriff in dieser Richtung usw.
Ich denke, ich sollte auf eine Formalität hinweisen, die viele vielleicht nicht verstehen, wenn sie viele populäre Referenzen zu den Unvollständigkeitstheoremen lesen: Gödel-Sätze beziehen sich nicht explizit auf sich selbst. In der Arithmetik oder Zahlentheorie gibt es zum Beispiel kein Symbol oder keine symbolische Art, „diese Formel“ zu sagen. Die Beweise der Unvollständigkeitstheoreme konstruieren jedoch explizit einen Gödel-Satz und zeigen, dass er immer logisch äquivalent (in der Tat) zu unserer informellen Interpretation von "diese Aussage ist innerhalb der Theorie nicht beweisbar" sein wird.