Ich habe mir einen Vortrag über Bayes'sche Statistik angesehen, in dem es darum ging, dass Theorien entweder wahr sind oder nicht. Daher kann es keine "langfristige relative Häufigkeit" geben, bei der die Theorie wahr ist, und Frequentistische Statistiken können die Wahrscheinlichkeit, dass eine Theorie wahr ist, nicht wirklich abschätzen (sondern müssen eher die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass Daten beobachtet würden, wenn eine Theorie wahr wäre wahr).
Meine sofortige Reaktion darauf ist, dass es natürlich eine Häufigkeit geben kann, bei der eine Theorie wahr ist. Wenn ich eine Theorie hätte, dass "Blau eine beliebtere Farbe als Rot ist", könnte ich dann nicht die Anzahl der Menschen zählen, die Blau bevorzugen?
Ich denke, Sie könnten missverstehen, was mit langfristiger Frequenz gemeint ist: Betrachten Sie den Fall eines Münzwurfs. Nach dem Frequentistenbegriff der Wahrscheinlichkeit hat ein Münzwurf die Wahrscheinlichkeit, dass Kopf fällt, weil ich ihn viele Male unter ähnlichen Bedingungen wiederholen kann, was eine ungefähre Schätzung der Wahrscheinlichkeit ergibt. Eine Möglichkeit, sich das vorzustellen, ist, dass Sie einige zufällige Ziehungen aus einem Kästchen machen, das 0en und 1en (mit Ersatz) enthält, und Sie das Verhältnis im Kästchen nicht kennen. (1 bedeutet Zahl, 0 bedeutet Kopf)
Außerdem wird ein (Wahrscheinlichkeits-) Freqentist behaupten, dass es NUR dann sinnvoll ist, von Wahrscheinlichkeiten zu sprechen, wenn man sein Experiment tatsächlich unter ähnlichen Bedingungen wiederholen kann!
Um auf Ihren Fall zurückzukommen: Was wäre die Wiederholung unter ähnlichen Umständen in Ihrem Beispiel oder anders gerahmt aus welcher Box zeichnen Sie? Ob Blau eine beliebtere Farbe als Rot ist, hängt überhaupt nicht vom Zufall ab, Sie werden immer das gleiche Ergebnis erhalten (vorausgesetzt, die Meinung der Menschen ändert sich nicht, aber wenn dies der Fall wäre, würden Sie eine andere Hypothese testen). Sie werden immer erhalten die gleiche Antwort: entweder ja oder nein. (Vielleicht können Sie sogar sagen, dass es Wahrscheinlichkeit 1 oder 0 hat).
Vielleicht macht es ein anderes Beispiel klarer. Kann ein Frequentist vernünftigerweise über die Wahrscheinlichkeit sprechen, dass eine Münze mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,7 Kopf landet? Die Antwort ist, es kommt darauf an.
Sie können sich eine Situation vorstellen, in der Ihnen jemand ein Spiel anbietet: Er zieht zunächst zufällig eine Münze aus einer Kiste mit verschiedenen Münzen. Und er wird dann die Münze 10 Mal werfen. Bei #heads >5 gewinnt er, sonst gewinnst du. In diesem Fall ist es für einen Frequwntisten sinnvoll, von der Wahrscheinlichkeit zu sprechen, dass die Münze eine Wahrscheinlichkeit von 0,7 hat, Kopf zu landen, denn die Wahrscheinlichkeit selbst ist eine Zufallsvariable, sie hängt davon ab, welche Münze aus der Schachtel gezogen wird! Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze eine Wahrscheinlichkeit von 0,7 hat, ist dann einfach die langfristige Häufigkeit, mit der eine Münze mit der langfristigen Häufigkeit von 0,7 Kopf landet.
Aber stellen Sie sich jetzt ein anderes Szenario vor. Jemand bietet Ihnen ein ähnliches Spiel an: Er wirft 10 Mal mit einem gegebenen Wurf und wenn Kopf >5 ist, gewinnt er, sonst Sie. (Mit welcher Münze er wirft, steht fest) Dann macht es für einen Frequentisten keinen Sinn, von der Wahrscheinlichkeit zu sprechen, dass die Münze eine Wahrscheinlichkeit von 0,7 hat, Kopf zu landen! Es ist immer dieselbe Münze, ihre Wahrscheinlichkeit, Kopf zu landen, ist nicht zufällig, sie ist festgelegt.
Es ist wichtig anzumerken, dass es für den Bayesianer durchaus sinnvoll ist, probabilistisch über die Hypothese „Blau ist beliebter als Rot“ zu sprechen. Denn wenn wir behaupten: „Ich glaube mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5, dass Blau eine beliebtere Farbe ist als Rot“, dann drückt er einfach seine eigene subjektive Ignoranz zu diesem Thema aus.
Selbst wenn ein Parameter (wie die Wahrheit oder Falschheit Ihrer Theorie) festgelegt ist, kann es einfach sein, dass wir nicht wissen, welchen Wert er hat, und es ist dieser Mangel an Wissen, den Bayesianer mit Wahrscheinlichkeit ausdrücken. Der Bayesianer verlangt nicht, dass das Experiment unter ähnlichen Bedingungen wiederholbar ist, damit eine probabilistische Aussage Sinn macht! Sie können immer Ihre Überzeugungen über etwas ausdrücken.
David