Surreale Zahlen und "Zick-Zack" -Formen [geschlossen]

Diese Frage wurde umformuliert.

  1. Gibt es ein Experiment, das zwischen mathematischen Modellen des physikalischen Raums basierend auf reellen Zahlen und Modellen basierend auf anderen Arten von Zahlen, zB surrealen Zahlen, unterscheiden kann ? Wenn es existiert, wurde es durchgeführt und was sind die Ergebnisse? Das folgende Papier über arXiv liefert einige physikalische Konsequenzen der Verwendung surrealer Zahlen, aber keine davon scheint experimentell getestet werden zu können: Some Mathematical and Physical Remarks on Surreal Numbers . Ähnliche Fragen wurden auf StackExchange mit unterschiedlichem Wortlaut gestellt: Warum Modellraum mit reellen Zahlen? , Rechtfertigung der Verwendung reeller Zahlen zur Längenmessung
  2. Wenn in der Physik Oberflächen (im mathematischen Sinne) betrachtet werden, werden sie üblicherweise als glatt angenommen. Beispielsweise wird eine Oberfläche mit identischem elektrostatischem Potential um ein Punktteilchen herum als glatte Kugel betrachtet. Wenn wir die Oberfläche dieser Kugel berechnen, erhalten wir das bekannte Ergebnis 4 π R 2 . Aber wenn die Oberfläche wirklich ein "Zick-Zack" ist (Beispiele für "Zick-Zacks" finden Sie hier: https://www.youtube.com/watch?v=D2xYjiL8yyE ), kann sie eine ganz andere Oberfläche haben. Auch wenn für dieses spezielle Beispiel die identische Potentialkugel eine reale Kugel und kein "Zickzack" ist, gibt es viele andere Beispiele für mathematische Oberflächen in der Physik (z. B. Ereignishorizonte, Oberflächen identischer Wahrscheinlichkeit in der Quantenmechanik usw.). Gibt es ein Experiment, das zwischen glatten Oberflächen und "Zick-Zack"-Oberflächen unterscheiden kann? Eine etwas verwandte, aber andere Frage wurde hier gestellt: Ist die Betrachtung der Raumzeit als glatte Mannigfaltigkeit nur eine Annahme?

Nur als Referenz, die ursprüngliche Frage ist unten angegeben:

In der Physik wird normalerweise gesagt, dass ein bestimmtes Stück Mathematik nicht angewendet werden sollte, es sei denn, es gibt eine experimentelle Bestätigung. Aus diesem Grund habe ich folgende zwei Fragen:

  1. Was ist eine experimentelle Bestätigung dafür, dass der physikalische Raum auf reellen Zahlen basiert und nicht zB auf surrealen Zahlen ?

  2. Welches Experiment hat bestätigt, dass alle in der Physik betrachteten Formen keine „Zickzack“-Formen sind (mit einer „Zickzack“-Form meine ich eine Form, die von einem Pfad umgeben ist, der den hier gezeigten ähnelt: https://www.youtube . com/watch?v=D2xYjiL8yyE ). Gibt es ein Beispiel für eine Form, die sich als "Zick-Zack"-Form herausstellte? Ist Materie wegen der Atome nicht grundsätzlich "zickzackförmig"? Macht es deshalb überhaupt Sinn, in der Physik von Oberflächen zu sprechen? Ich denke, einige physikalische Berechnungen basieren auf dem Konzept einer Oberfläche.

Die experimentellen Beweise deuten darauf hin, dass die Realität auf rationalen Zahlen basiert, nicht auf reellen Zahlen.
Auf welcher Grundlage schlagen Sie eine Verbindung zwischen diesen „Zick-Zack“-Formen und Atomen vor?
@safesphere: Kannst du bitte mehr Details geben?
@StephenG: Wenn wir z. B. annehmen, dass Atome z. B. ungefähr kugelförmig sind (ich weiß, dass es aus vielen Gründen nicht stimmt (einschließlich QM), aber es macht keinen Unterschied, es sei denn, es handelt sich z. B. um Quader usw.), kann man keine Kugeln packen um eine ebene Fläche zu schaffen. Wenn Sie also die Oberfläche eines Körpers berechnen, ist dies nicht die Oberfläche einer ebenen Figur, sondern etwas größer. Im wirklichen Leben ist der Unterschied wegen komplizierter Molekülformen, Defekten und vielen anderen Gründen sogar noch größer.
@StephenG Ich verstehe, dass es für viele Anwendungen von Oberflächen keinen Unterschied macht (weil es uns wirklich nicht um eine Oberfläche geht, sondern zB um ein Flussmittel), aber vielleicht gibt es einige, für die dies der Fall ist. Leider kann ich dafür im Moment keine Beispiele nennen.
@safesphere Ich bin fasziniert und hätte auch gerne weitere Informationen zu dieser kühnen Annahme. Es scheint zu widersprechen, dass ein rechtwinkliges Dreieck mit Einheitsseiten eine Hypotenuse hat 2 . Wenn ich eines auf ein Blatt Papier zeichne, erscheint es ziemlich real.
@Sputnik Sie können kein echtes Dreieck mit abstrakten Symbolen wie messen 2 . In Wirklichkeit messen Sie mit einem Lineal (z. B. auf Laserbasis), das ein Ergebnis in einer Notation mit einer gewissen Basis liefert, z. B. binär oder dezimal. Wenn Sie Ihre Hypotenuse in einer Dezimalschreibweise ausdrücken, ist sie eine rationale Zahl. Wenn Sie irgendetwas in einem Computer programmieren, verwenden Sie rationale Zahlen. In der physikalischen Realität gibt es keine reellen Zahlen, sondern nur rationale Zahlen. 1.414213562373095 ist eine rationale Zahl und Sie werden Ihr Dreieck nie so genau messen können.
"Experimentelle Beweise deuten darauf hin, dass die Realität auf rationalen Zahlen basiert" Unsinn. Dass wir aus Messungen mit begrenzten Instrumenten endliche Präzision erfassen, sagt überhaupt nichts über die Natur der Realität aus. Insbesondere das Aufschreiben einer Messung von 287,35 G sagt mir nicht, dass die Probe genau diese Masse hatte, sondern dass die Instrumentenbestimmung der Masse der Probe durch diese Zahl besser dargestellt wurde als durch jede andere, die ich hätte aufschreiben können. Auf einer digitalen Waage könnte es einen beliebigen Wert dazwischen haben 287.345 Und 287.355 G .
Dies kann von Interesse sein: arxiv.org/abs/1803.06824
Verwandte MO.SE-Frage: mathoverflow.net/q/63320/13917
Ich habe das Gefühl, dass diese Frage sowohl vor als auch nach der Umformulierung auf einer falschen Prämisse basiert. Es gibt viele Hinweise darauf, dass das Bild der differenzierbaren Mannigfaltigkeit der Raumzeit irgendwann zusammenbricht, möglicherweise um die Planck-Skala herum. Wenn es in irgendeiner Größenordnung zusammenbricht, dann ist die Physik mit realen oder surrealen Zahlen nur eine Annäherung, und die Auswahl einer über der anderen ist eine Frage der Bequemlichkeit / Vertrautheit, nicht der Korrektheit.
Die Frage ist, ob die Quantentheorien (zB die Quantenfeldtheorie oder Stringtheorien) reelle Zahlen, glatte Flächen etc. verwenden. Auch wenn die Raumzeit keine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist, sind zB Strings, Loops oder was auch immer die grundlegenden Objekte der Theorie werden mit reellen (und nicht zB surrealen) und/oder glatten Übergängen (und nicht zB mit Zickzack) modelliert?

Antworten (2)

Ich habe niemanden gesehen, der behauptete, man solle eine bestimmte Art von Mathematik nicht verwenden, es sei denn, es gebe experimentelle Gründe dafür - schließlich wurde die allgemeine Relativitätstheorie (unter Verwendung der Riemannschen Raumzeit) durch Gedankenexperimente eingeführt und dann experimentell gefunden, um die Realität zu beschreiben. Stattdessen drängen die Leute eher darauf, dass Sie keine komplexere Mathematik einführen sollten, als nötig ist, um zu beschreiben, was wir beobachten können (oder glauben, dass wir es bei einem zukünftigen Experiment beobachten können). Die Verwendung surrealer Zahlen in der Physik macht die Dinge übermäßig kompliziert. Dies ist im Grunde Occams Rasiermesser.

Beachten Sie, dass "einfach" manchmal umstritten ist. Läuft die Physik wirklich auf kontinuierlichen reellen Zahlen (oder komplexen) oder auf den scheinbar einfacheren zählbaren natürlichen oder rationalen Zahlen? Vielleicht nur berechenbare Zahlen? Hier kommt es darauf an, ob diese Theoriewahl tatsächlich einen empirisch feststellbaren Unterschied macht und ob sie zu nützlicheren Theorien führt. Die Quantenmechanik "gewann", indem sie zeigte, dass die Klumpigkeit der Quantisierung neue Eigenschaften ergab, die kontinuierliche Spektren nicht hatten, und diese Eigenschaften erwiesen sich als messbar.

Ja, mein Argument sollte auf Occams Rasiermesser basieren – ein Stück Mathematik sollte nicht angewendet werden, es sei denn, es macht (1) korrekte empirische Vorhersagen und (2) macht die Theorie einfacher. Ich bin mir nicht sicher, ob die Einführung von zB surrealen Zahlen oder die Annahme von "Zick-Zack" -Linien überprüfbare empirische Vorhersagen erstellen kann, die von den üblichen Definitionen abweichen, aber ich habe das folgende Papier gefunden, das in der Aktualisierung der Frage erwähnt wird.

Eine physikalische Theorie besteht grob aus zwei Objekten: theoretischen Begriffen und Beobachtungsbegriffen [1] . Die theoretischen Terme setzen sich aus allen Größen zusammen, die nicht direkt gemessen werden können, wie z. B. Wellenfunktion, Energie usw., während die Beobachtungsterme diejenigen sind, die direkt gemessen werden können, wie z. B. Länge.

Soweit ich das beurteilen kann, sind Beobachtungsterme immer reelle Zahlen und selbst dann immer rationale Terme. Ich kann nicht wirklich eine unendliche Menge auf einem Gerät messen, noch eine Menge mit unendlicher Genauigkeit.

Andererseits haben die theoretischen Begriffe keine Beschränkung, woraus sie bestehen. Und tatsächlich habe ich einige Versuche gesehen, eine Vielzahl von ihnen zu verwenden, wie z. B. die Quantenfeldtheorie, die aus hyperrealen Zahlen aufgebaut ist (obwohl es keine surrealen Zahlen sind, bin ich mir nicht sicher, ob sie viel Nutzen haben). Der wichtige Teil ist, dass die Korrespondenzregeln (die Zuordnung von theoretischen Termen zu Beobachtungstermen) existieren, sodass theoretische Terme, die keine reellen Zahlen sind, korrekt auf reale Observablen abgebildet werden.

Vielen Dank für Ihre Antwort. Ich denke, dass direkt messbare Größen nicht einmal reelle Zahlen sind, sondern eigentlich nur rationale Zahlen. Aber es ist möglich, dass eine Theorie aus verschiedenen Gründen reelle Zahlen oder zB surreale Zahlen auf einer tieferen Ebene notwendig macht. Wenn wir zB nur rationale Zahlen annehmen, könnten die räumlichen Symmetrien zusammenbrechen, wir können keine Analysis anwenden usw. Ich frage mich, ob es tiefere Gründe für zB surreale Zahlen gibt, aber das ist eine andere Frage.
Es ist nie notwendig . Es gibt immer einen Weg für eine Theorie, theoretische Begriffe loszuwerden (die Craig-Rexiomatisierung). Es mag praktischer sein, surreale Zahlen zu verwenden, aber soweit ich weiß, sehe ich keine praktischen Anwendungen dafür, die nicht mit einem einfacheren System möglich wären.
Messwerte der Kategorie der rationalen Zahl zuzuordnen, bedeutet den Fehler zu machen, die mit ihnen einhergehende Unsicherheit zu ignorieren. Ich verstehe, dass "wir eine abschließende Dezimalbruchzahl aufschreiben, das ist also eine rationale". Aber eigentlich sollten wir jede Messung als mit einer Unsicherheit behaftet verstehen: Dies sind keine einfachen Zahlen, egal wie wir sie im Unterricht behandeln, und wenn Sie anfangen, über ihre Bedeutung zu philosophieren, sollten Sie das bedenken.
@dmckee Ich denke, es ist klar, dass Ergebnisse von Messungen mit einigen Messgeräten beobachtet werden können. All diese Ergebnisse sind höchstens rational. Meiner Meinung nach ist auch die Theorie der Messungen und Fehler ein Teil des Modells.
@dmckee Am Beispiel einfacher Geometrie sagt uns eine vollständig und korrekt formulierte physikalische Theorie der physikalischen Geometrie (nicht rein mathematisch), dass wir beispielsweise eine Linie von (1,00 ± 0,05) cm (gemessen mit einem Standardlineal) zeichnen. und wir konstruieren einen Kreis mit dieser Linie als Radius (mit einem ausreichend genauen Werkzeug), und dann messen wir den Umfang des Kreises, das Ergebnis wird (6,3 ± 0,4) cm sein (gemessen mit einem Opisometer mit ausreichender Genauigkeit).
@dmckee Mit anderen Worten, die Eingabedaten sind rational mit einer gewissen Unsicherheit. Die Theorie produziert einige Ergebnisse basierend auf den Eingaben. Ein anderer Teil der Theorie (Uncertainty Propagation Theory) sagt uns, wie genau diese Vorhersagen sind. Dann messen wir das Ergebnis und vergleichen es mit den Vorhersagen und prüfen, ob es innerhalb des Unsicherheitsbereichs liegt.
Auch der Umfang des Kreises kann nicht so bekannt sein, ohne die Geometrie des Raums anzunehmen
@MateuszGrotek Nochmals, nur weil die aufgezeichnete Messung in Bezug auf rationale Werte geschrieben ist, bedeutet dies nicht, dass (a) eine Messung rational ist (es ist eine Verteilung) oder (b) dass die zugrunde liegende physikalische Größe rational ist (Sie wissen es nicht welcher Wert in dem Bereich, den unser Wissen zulässt, richtig ist, und Irrationale gehören zu den erlaubten (tatsächlich gibt es mehr davon als Rationale).
@dmckee Ich denke, dass Sie ein Wort "Messung" in einer etwas anderen Bedeutung verwenden als die, die ich verwende. Sie sind beide in Ordnung, aber wir müssen uns über die Bedingungen einigen, wenn wir sie zuerst besprechen wollen. Für mich ist Messung der von einem Instrument angezeigte Wert zusammen mit der Genauigkeit des Instruments. Wir sind uns beide einig, dass dies nur rational ist und sein kann.
@dmckee Das bedeutet, dass die Eingabedaten für Berechnungen in der Theorie ebenfalls rational sind. Die "zugrunde liegende physikalische Größe" scheint aus meiner Sicht ein theoretischer Begriff zu sein, kein Beobachtungsbegriff. Ich stimme vollkommen zu, dass Irrationale in den Bereich gehören, aber auch Surreales.
@Slereah Tatsächlich geht die Theorie, die ich im Sinn hatte, davon aus, dass der Raum im kleinen Maßstab nahe am Euklidischen liegt, sodass diese Messung die Theorie verfälschen kann, wenn sich herausstellt, dass der Umfang nicht (6,3 ± 0,4) cm beträgt, sondern etwas anderes. Dieses Spielzeugkistenbeispiel ist auch aus diesem Grund ganz nett.
@Slereah Ich habe noch nicht auf deinen ursprünglichen Kommentar geantwortet, also lass es mich bitte jetzt tun. Sie haben Recht, dass keine theoretischen Terme notwendig sind und sie zB durch Craigs Rexiomatisierung entfernt werden können. Aber es gibt auch ein anderes Problem. Wenn wir die Theorie modifizieren, indem wir einige Teile davon ändern, zB reelle in surreale Zahlen, könnte sich herausstellen, dass die neue Theorie einige andere Ergebnisse für Observablen liefert.
@Slereah Natürlich können Sie theoretische Begriffe aus beiden betroffenen Theorien (mit Realen und mit Surrealen) entfernen, aber das bedeutet nicht, dass die resultierenden Theorien gleich sind. Deshalb ist es sinnvoll zu überlegen, welchen Einfluss Surreales auf die Beobachtungen haben, und das ist eigentlich ein Teil meiner ursprünglichen Frage, weil ich gefragt habe, ob es eine experimentelle Bestätigung gibt. Ich sollte wahrscheinlich eine andere Frage stellen. Gibt es ein Experiment, das die Theorie mit Realen von der Theorie mit Surrealen unterscheiden kann? Wenn nicht, dann ist Ihre Argumentation richtig und es spielt keine Rolle. Aber vielleicht gibt es das.
Surreale Zahlen und "Zick-Zack" -Formen [geschlossen]
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