Symmetrieüberlegungen in der ebenen Poiseuille-Strömung

Die Lösung liegt in der Reduktion der Navier-Stokes-Gleichungen für dieses spezielle Problem und den Annahmen der ebenen Poiseuille-Strömung. Die allgemeinen zweidimensionalen, inkompressiblen und konstanten Navier-Stokes-Gleichungen haben die Form

$$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$$ $$\frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} + \nu \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right)$$ $$\frac{\partial v}{\partial t} + u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y}= -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y} + \nu \left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} \right)$$

Für einen stetigen Fluss haben wir,

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial v}{\partial t} = 0$$

Da die Strömung zwischen zwei nicht porösen parallelen Platten begrenzt ist und wir an Laminarströmungslösungen interessiert sind, leiten wir automatisch ab,

$$u = u(y) \quad \text{or} \quad \frac{\partial u}{\partial x} = 0$$ $$v = 0$$

Das Reduzieren der allgemeinen zweidimensionalen, inkompressiblen und konstanten Navier-Stokes-Gleichungen ergibt,

$$\frac{\partial u}{\partial x} = 0$$ $$\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$$ $$\frac{\partial p}{\partial y} = 0$$

Konzentration auf die$x$-Impulsgleichung und unter Verwendung der Ergebnisse von$\partial u/ \partial x = 0$Und$\partial p/ \partial y = 0$, bleibt eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung,

$$\frac{1}{\rho} \frac{d p}{d x} = \nu \frac{d^2 u}{d y^2}$$

Der wichtige Teil hier ist das$dp/dx$ist eine Konstante für die Ableitung der ebenen Poiseuille-Strömung. Dies liegt daran, dass es sich bei der ebenen Poiseuille-Strömung um eine voll entwickelte laminare Strömung zwischen zwei parallelen Platten handelt. Die ebene Poiseuille-Strömung hat eine verallgemeinerte Lösung unter der Annahme, dass die Wände vorhanden sind$\pm W$weg von der Mittellinie,

$$u(y) = - \frac{W^2}{2\mu} \frac{dp}{dx} \left[1-\left(\frac{y}{W}\right)^2\right]$$

Die vollständig entwickelte Annahme ist ein wichtiger Unterschied, den die meisten Lehrbücher in Bezug auf die ebene Poiseuille-Strömung oder sogar die Hagen-Poiseuille-Rohrströmung nicht hervorheben. Unten sehen Sie ein Schema für die Strömung in einem Rohr, aber die Abbildung sieht für die ebene Strömung zwischen parallelen Platten genauso aus.

Beachten Sie, dass das Profil nur in der vollständig entwickelten Region funktioniert$u(y)$und der treibende Druckgradient$dp/dx$unabhängig werden von$x$Lage zwischen den Platten oder im Rohr. Dies ist die Grundlage des Symmetriearguments für$u$Und$dp/dx$. Allerdings scheinen Sie am physischen Wert aufgehängt zu sein$p$entlang$x$anstatt$dp/dx$. Sie müssen sich nur darüber im Klaren sein, dass dies die Antriebsfunktion für diesen bestimmten Fluss nicht ist$p = p(x)$, aber einfach$dp/dx$. Eine abschließende Bemerkung ist schließlich, dass diese Strömung auf eine vollständig entwickelte laminare Strömung beschränkt ist, und bei einem ausreichend langen Abstand wird die Reynolds-Zahl hoch genug, dass ein Übergang zu einer vollständig entwickelten turbulenten Strömung stattfindet. In diesem Fall sind die Poiseuille-Strömungslösung oder Hagen-Poiseuille nicht mehr anwendbar.

Ich werde zwei Kommentare abgeben und anmerken, dass diese Antworten teilweise auf dem Material beruhen, das bereits von TRF präsentiert wurde:

1. Bei inkompressibler Strömung kommt es nur auf den Druckgradienten an, und der Druck wird immer nur bis zu einer beliebigen Konstante bestimmt. Im vollständigen System der Impuls- und Massenerhaltungsgleichungen (dargestellt in der ersten Antwort) erscheint nur der Gradient des Drucks. Dies sollte ausreichen, um zu erklären, warum ein in Strömungsrichtung variierender Druck die vorgeschlagene Symmetrie nicht bricht, solange sein Gradient konstant ist. Vielleicht die kurze Antwort auf die Frage, warum „ wir Translationssymmetrie annehmen können, wenn der Druck unter Translation nicht symmetrisch ist" ist, dass der Druck selbst nicht in den Gleichungen auftaucht, sondern nur sein Gradient, und dieser ist translationsinvariant. Beachten Sie, dass wir nicht von Anfang an einen konstanten Druckgradienten annehmen müssen: Die Annahme eines translationsinvarianten, eindimensionalen Geschwindigkeitsprofil ist ausreichend, um dieses Ergebnis abzuleiten.
2. Als zusätzlicher Kommentar zu diesen Symmetrie-„Annahmen“ ist es vielleicht hilfreich zu verstehen, dass das ursprüngliche Problem (inkompressible Navier-Stokes-Strömung zwischen unendlichen parallelen Platten) nicht vollständig formuliert ist und die Frage nach seiner Lösung daher aus a schlecht gestellt ist mathematische Perspektive. Das Problem ist, dass keine anfänglichen und nicht alle Randbedingungen angegeben sind. Eine Möglichkeit, die Formulierung dieses speziellen Problems zu betrachten, besteht darin, es wie folgt umzuformulieren: Finden Sie alle stationären Lösungen (falls vorhanden) der Navier-Stokes-Gleichungen in der gegebenen Geometrie, die durch eine einzige Geschwindigkeitskomponente parallel zu den Platten charakterisiert werden können , variierend nur in der Koordinate normal zu diesen Platten. Es stellt sich heraus, dass es solche Lösungen tatsächlich gibt, und die Antwort auf die Frage ist eine Familie parabolischer Geschwindigkeitsprofile, die einem konstanten Druckgradienten einer geeigneten Größe zugeordnet sind. Natürlich gibt es unendlich viele andere Lösungen, die die gegebenen Bedingungen nicht erfüllen, aber dennoch brauchbare, physikalische Strömungen darstellen. Beispiele sind instationäre (laminare oder turbulente) Strömungen und verschiedene Arten sich stetig entwickelnder Strömungen. Somit eine zweite Antwort auf die erweiterte Frage nach dem Warum“wir können Translationssymmetrie annehmen, wenn der Druck unter Translation nicht symmetrisch ist .“ könnte sein, dass wir keine spezifische Rechtfertigung benötigen. Wir geben einfach diese Annahmen an und sehen, ob wir eine Lösung finden können, die sie erfüllt. Es stellt sich heraus, dass dies tatsächlich der Fall ist der Fall, was zur Rechtfertigung der Vermutung im Nachhinein dienen kann.

Update: In einem Kommentar zu dieser Antwort tauchte eine Frage zur physikalischen Interpretation des oben Gesagten auf. Hier ist meine Antwort darauf: Es ist wichtig zu erkennen, dass der „Druck“, der in den inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen erscheint, in wichtiger Hinsicht unphysikalisch ist. In der inkompressiblen Strömungsmechanik ist der Druck keine thermodynamische Größe. Wie ich oben gesagt hatte, ist es ein Lagrange-Multiplikator, um die Inkompressibilität sicherzustellen. Dies bedeutet, dass das Modell des „inkompressiblen Flusses“ in gewissem Sinne auch in einigen wichtigen Punkten unphysikalisch ist. Beispielsweise bewegen sich Signale in einer theoretisch inkompressiblen Flüssigkeit mit unendlicher Geschwindigkeit. Und in diesem Modell hat der Absolutwert des Drucks keine Bedeutung.

Das Modell der inkompressiblen Strömung ist wertvoll, weil sich herausstellt, dass die von ihm erzeugten Lösungen, solange die Geschwindigkeit der Strömung deutlich unter der Schallgeschwindigkeit liegt, wohlerzogene Störungen physikalischer Lösungen für die vollständigen, komprimierbaren Strömungsgleichungen darstellen glauben wir zumindest. Es muss erwähnt werden, dass die Frage, ob diese Annahme tatsächlich wahr ist, eng mit der Antwort auf eines der Millenium-Probleme des Clay Institute verknüpft ist, die bisher schwer fassbar geblieben ist.

Schließlich ja, wenn wir die Annahme der Inkompressibilität fallen lassen, dann wird die Lösung der komprimierbaren Navier-Stokes-Gleichungen die Translationsinvarianz des Druckgradienten oder des Geschwindigkeitsfelds nicht beibehalten.