Trägheitsmoment eines Stab-Kugel-Systems

Ich habe ein Problem bei dem eine Stangenlänge$d$Masse hat$m$und eine Punktmasse von$2m$befindet sich am linken Ende davon. Ich möchte die Trägheitsmomente für mehrere Achsen berechnen, die alle senkrecht zur Stange stehen. Ich habe das Trägheitsmoment direkt für die Achse durch den Stabmittelpunkt bereits richtig berechnet und festgestellt$\frac{7md^2}{12}$. Aber dann fiel mir ein, dass dies effizienter wäre, wenn ich das Trägheitsmoment durch den Massenmittelpunkt finden und den Parallelachsensatz wiederholt anwenden würde.

Dazu habe ich den Massenschwerpunkt des Systems berechnet und gefunden$d/6$. Ich habe dann das Trägheitsmoment durch den Massenmittelpunkt in zwei Teilen berechnet, einen für die Masse der Stange selbst,

$$\int_{-d/6}^{5d/6}r^2dm = \lambda \frac{r^3}{3}\Bigg|_{-d/6}^{5d/6} = \frac{m}{3d}\left[\left(\frac{5d}{6}\right)^3-\left(\frac{-d}{6}\right)^3\right]$$

$$=\frac{md^2}{3}\left(\frac{126}{6^3}\right)=\frac{7md^2}{36}$$

Aber dann muss ich am Ende die Masse der Kugel hinzufügen, die dazu beiträgt$2m(d/6)^2$um das Trägheitsmoment und damit das Moment im Mittelpunkt steht

$$I_{cm}=\frac{md^2}{4}$$

Wenn ich jetzt jedoch den Parallelachsensatz verwende, um das Trägheitsmoment auf halber Strecke zu erhalten, bekomme ich es

$$\frac{md^2}{4}+m(2d/6)^2 = \frac{13md^2}{36}$$

Ich bekomme offensichtlich nicht die richtige Antwort.