U(1)U(1)U(1) abelsche/axiale/chirale Anomalie in 4D

Dieser Bardeen-Gegenbegriff ist ein schwer fassbares Tier, muss ich sagen. Doch ich werde teilen, was ich gefunden und verstanden habe:

Definiere a$\mathrm{U}(1)$Eichtheorie, indem sie ihre Wirkung in links- und rechtshändigen chiralen Spinoren als schreibt

$$S_{\mathrm{chiral}}[A] = \int \bar \psi_L (\mathrm{i} {\not \hspace{-4px} \partial} - \not \hspace{-5px} A)\psi_L + \bar \psi_R (\mathrm{i} {\not \hspace{-4px} \partial} - \not \hspace{-5px} A)\psi_R$$

und beobachte das, mit$j = j_R+j_L$Und$j^5 = j^5_R - j^5_L$, wir haben

$$\partial_\mu j^\mu = 0 \; \text{and} \; \partial_\mu j^{5\mu} = \frac{1}{24\pi^2}F \wedge F = \frac{1}{12\pi^2}\mathrm{d}A\wedge\mathrm{d}A$$

Nun, das scheint uns die Anomalie direkt zu geben. Wir können aber auch die Einführung eines Hilfsfeldes betrachten$B_\mu$gekoppelt an den axialen Strom als

$$S_{\mathrm{aux}}[A,B] = \int \bar \psi_L (\mathrm{i} {\not \hspace{-4px} \partial} - \not \hspace{-5px} A + \not B)\psi_L + \bar \psi_R (\mathrm{i} {\not \hspace{-4px} \partial} - \not \hspace{-5px} A - \not B)\psi_R$$

$B_\mu j^5_\mu$ein eichinvarianter Operator ist, also sollte er unsere Theorie nicht ruinieren. Doch tut es das, wie man für die Ward-Identitäten findet

$$\partial_\mu j^\mu = \frac{1}{6\pi}\mathrm{d}A\wedge\mathrm{d}B \; \text{and} \; \partial_\mu j^{5\mu} = \frac{1}{12\pi^2}(\mathrm{d}A\wedge\mathrm{d}A + \mathrm{d}B\wedge\mathrm{d}B)$$ Dies inspiriert uns, den Bardeen-Gegenbegriff hinzuzufügen

$$S_{\mathrm{Bardeen}}[A,B] = \frac{1}{6\pi^2}\int A \wedge B \wedge \mathrm{d}A$$

zur Hilfsaktion. Jetzt erfüllen sich die Strömungen

$$\partial_\mu j^\mu = 0 \; \text{and} \; \partial_\mu j^{5\mu} = \frac{1}{4\pi^2}(\mathrm{d}A\wedge\mathrm{d}A + \frac{1}{3}\mathrm{d}B\wedge\mathrm{d}B)$$

und wir haben tatsächlich, dass die eichinvariante Störung durch$B$zerstört die Eichinvarianz nicht mehr. Was wir also durch den Gegenterm losgeworden sind, ist die Eichanomalie , nicht die axiale Anomalie . Beachten Sie, dass dies tatsächlich eine Renormierung im üblichen Sinne ist, da$A \wedge B \wedge \mathrm{d}A$erzeugt einige zusätzliche Kopplungs-/Feynman-Diagramme.

Was Sie höchstwahrscheinlich verwirrt hat, ist, dass viele Quellen angeben, dass es keinen lokalen Gegenbegriff für die axiale Anomalie gibt. Dies ist völlig richtig, da$\int F \wedge F$ist ein topologischer Begriff, die zweite Chern-Klasse und daher nicht lokal. Sie könnten dies zu der Aktion hinzufügen, um zu versuchen, die axiale Anomalie zu beseitigen, aber dies wäre kein lokaler Begriff und daher keine gute Sache.