Über die Herleitung der Zeitdilatation

Sie möchten berechnen, welche Zeit jeder Beobachter sieht. Während O mit der Lichtuhr ruht, sieht er einfach das Licht hin und her gehen$t_O=2d/c$, das ist die Zeit für einen "Tick" von O's Uhr.

Gehen wir nun in die Sichtweise von O'. Er sieht, wie sich die Uhr mit einer gewaltigen Geschwindigkeit bewegt$u$. Ich denke, da liegt deine Verwirrung. Es ist O', das auf die Uhr schaut und sieht, wie sie sich bewegt, und es ist diese Bewegung, die das Verhalten der Uhr verändert. Mit anderen Worten, es interessiert uns, wie viel Entfernung die Uhr zurückgelegt hat, wie sie von O' gesehen wird.

Jetzt wollen wir berechnen, wie viel Zeit vergeht$O'$Sicht zwischen zwei "Ticks" der Uhr. Nennen wir dies eine noch unbekannte Zeit$t_{O'}$. Wir wissen das, weil die Uhr scheinbar schnell läuft$u$entsprechend$O'$, wenn wir warten$t_{O'}$Die Uhr wird sich um eine Strecke bewegt haben$ut_{O'}$.

Indem du ein Bild zeichnest und es verwendest$2d=t_O c$, er bekommt das :

$$ct_{O'} = \sqrt{((ct_O)^2+(ut_{O'})^2}\Leftrightarrow t_{O'} = \frac{t_O}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$$

Was das erwartete Ergebnis liefert, da die Uhr mit einer Geschwindigkeit reist$u$entsprechend$O'$, wenn eine Sekunde vergeht gem$O$, für$O'$, wird mehr Zeit verstrichen sein. Mit anderen Worten, gem$O'$das sieht$O$bewege dich mit geschwindigkeit u, die uhr scheint langsamer zu laufen für$O$.

Um es klarer zu machen, wenn$O'$auch eine Uhr bei sich trägt, tickt seine Uhr schneller als die von ihm gehaltene$O$. Natürlich können wir die Argumentation umkehren und aus der Sicht von$O$, die Uhr, die er hält, tickt schneller als$O'$, denn aus seiner Sicht ist es$O'$das hat eine Geschwindigkeit u.

In$O$Frame, die Zeit, die zwischen aufeinanderfolgenden Ticks von Lichtuhren vergangen ist, wird durch die Zeit gegeben, in der Licht die Distanz passiert$2d$.

In$O'$frame Die Zeit, die zwischen denselben Ticks vergangen ist, wird durch die Zeit gegeben, in der Licht die Entfernung passiert$2d'$in Richtung senkrecht zur Geschwindigkeit von$O$Rahmen gemessen an$O'$zuzüglich der Entfernung, die sich aus der Bewegung von ergibt$O$in Richtung seiner Geschwindigkeit. In$O'$Rahmen, der letztere ist durch die Geschwindigkeit gegeben$O$aus Sicht von$O'$mal die Zeit verging aus der Sicht von$O'$. Grundsätzlich analysieren Sie, was aus der Sicht von passiert$O'$, bringen Sie also keine anderen Rahmen hinein. So erhalten Sie, dass das Licht die Entfernung passiert$\sqrt{(2d')^2+(ut)^2}$In$O'$rahmen. Aber da rechtwinkliger Abstand$d=d'$in beiden Frames gleich ist, können Sie aus ersetzen$t_0=2d/c$um deine Formel zu bekommen.