Ableitung der Zeitdilatationsformel für die Geschwindigkeit

Question

Ableitung der Zeitdilatationsformel für die Geschwindigkeit

Physik
Relativität
Zeitdilatation
Spezielle Relativität

Jeffrey Phillips Freeman

Ich habe versucht, die Zeitdilatationsformel für die Geschwindigkeit abzuleiten. Dies ist ganz mein eigener Ansatz, obwohl ich vermute, dass es in Bezug auf die Art und Weise, wie es abgeleitet wird, nichts Neues / Besonderes ist. Ich wollte nur etwas Spaß haben und sehen, ob ich es selbst herausfinden kann. Ich wusste also, dass alles auf der Idee basierte, dass die Lichtgeschwindigkeit in jedem Bezugssystem eine Konstante ist. Also habe ich dieses Diagramm gezeichnet, das zwei Referenzrahmen zeigt.

Also habe ich versucht, die Zeit zu berechnen, die das Licht brauchen würde, um zwischen den beiden Personen im Raumschiff (A und B) zu reisen. Der Abstand zwischen ihnen ist $D_x$ . Das ist die Strecke, die das Licht im Ruhesystem zurücklegt. Dann berechnete ich die Entfernung, die es zurücklegen würde, wie es ein äußerer Beobachter sehen würde (unter Berücksichtigung der Geschwindigkeit des Raumschiffs). Dafür war die Entfernung länger, aber die Lichtgeschwindigkeit gleich. Das Verhältnis zwischen der Differenz zwischen der scheinbaren Zeit von den beiden Beobachtern wäre die Zeitdilatation. Hier ist meine Mathematik.

T_{0} = \frac{D_{X}}{C}

$T_0 = \frac{D_x}{C}$

D_{j} = v_{j} \cdot T_{0}

$D_y = V_y \cdot T_0$

D_{j} = v_{j} \cdot \frac{D_{X}}{C}

$D_y = V_y \cdot \frac{D_x}{C}$

D_{1} = \sqrt{{D_{X}}^{2} + {D_{j}}^{2}}

$D_1 = \sqrt{{D_{x}}^2 + {D_{y}}^2}$

D_{1} = \sqrt{{D_{X}}^{2} + {(v_{j} \cdot \frac{D_{X}}{C})}^{2}}

$D_1 = \sqrt{{D_{x}}^2 + {(V_y \cdot \frac{D_x}{C})}^2}$

T_{1} = \frac{D_{1}}{C}

$T_1 = \frac{D_1}{C}$

T_{1} = \frac{\sqrt{{D_{X}}^{2} + {(v_{j} \cdot \frac{D_{X}}{C})}^{2}}}{C}

$T_1 = \frac{\sqrt{{D_{x}}^2 + {(V_y \cdot \frac{D_x}{C})}^2}}{C}$

T_{1} = \frac{\sqrt{{D_{X}}^{2} + {v_{j}}^{2} \cdot \frac{{D_{X}}^{2}}{C^{2}}}}{C}

$T_1 = \frac{\sqrt{{D_{x}}^2 + {V_y}^2 \cdot \frac{{D_x}^2}{C^2} }}{C}$

T_{1} = \frac{\sqrt{{D_{X}}^{2} + {v_{j}}^{2} \cdot \frac{1}{C^{2}} \cdot {D_{X}}^{2}}}{C}

$T_1 = \frac{\sqrt{{D_{x}}^2 + {V_y}^2 \cdot \frac{1}{C^2} \cdot {D_x}^2 }}{C}$

T_{1} = \frac{D_{X} \cdot \sqrt{1 + {v_{j}}^{2} \cdot \frac{1}{C^{2}}}}{C}

$T_1 = \frac{D_x \cdot \sqrt{1 + {V_y}^2 \cdot \frac{1}{C^2} }}{C}$

T_{1} = \frac{D_{X} \cdot \sqrt{1 + \frac{{v_{j}}^{2}}{C^{2}}}}{C}

$T_1 = \frac{D_x \cdot \sqrt{1 + \frac{{V_y}^2}{C^2} }}{C}$

Δ T = \frac{T_{0}}{T_{1}}

$\Delta T = \frac{T_0}{T_1}$

Δ T = \frac{\frac{D_{X}}{C}}{\frac{D_{X} \cdot \sqrt{1 + \frac{{v_{j}}^{2}}{C^{2}}}}{C}}

$\Delta T = \frac{\frac{D_x}{C}}{\frac{D_x \cdot \sqrt{1 + \frac{{V_y}^2}{C^2} }}{C}}$

Δ T = \frac{D_{X}}{C} \cdot \frac{C}{D_{X} \cdot \sqrt{1 + \frac{{v_{j}}^{2}}{C^{2}}}}

$\Delta T = \frac{D_x}{C} \cdot \frac{C}{D_x \cdot \sqrt{1 + \frac{{V_y}^2}{C^2} }}$

Δ T = \frac{C D_{X}}{C D_{X} \cdot \sqrt{1 + \frac{{v_{j}}^{2}}{C^{2}}}}

$\Delta T = \frac{C D_x}{C D_x \cdot \sqrt{1 + \frac{{V_y}^2}{C^2} }}$

Δ T = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{{v_{j}}^{2}}{C^{2}}}}

$\Delta T = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{{V_y}^2}{C^2} }}$

Also nur einige Notizen, Index 0 hier, wie z $T_0$ bezieht sich auf die Zeit im Ruhebild, und Index 1 hier, wie z $T_1$ stellt den Bezugsrahmen dar, in dem sich das Schiff bewegt.

Wie Sie sehen können, ist die endgültige Gleichung, die ich bekomme, fast genau richtig, aber ich scheine zu einem Pluszeichen geführt zu haben, wo ein Minuszeichen stehen sollte. Nachdem ich meine Arbeit durchgegangen bin, kann ich die Quelle meines Fehlers nicht finden. Was habe ich falsch gemacht?

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Ableitung der Zeitdilatationsformel für die Geschwindigkeit

Maximales Ideal · Answer 1

Dieser Ansatz ist eigentlich gut durchdacht und ziemlich auf den Punkt gebracht. Das Problem tritt jedoch sehr früh auf.

Es gibt zwei Trägheitsrahmen, die wir in Betracht ziehen. Ich bezeichne einen als Beobachterrahmen und den anderen als Schiffsrahmen.

$T_{0} = \frac{D_{X}}{C}$ $T_{0} = \frac{D_{x}}{C}$

Also definierst du $T_{0}$ die Zeit zu sein, in der das Licht in Bezug auf den Schiffsrahmen zwischen den beiden Personen hindurchgeht.

$D_{j} = v_{j} \cdot T_{0}$ $D_{y} = V_{y} \cdot T_{0}$

Wenn ich mich nicht irre, würde ich vermuten, dass die Begründung dafür wie folgt lautet: In Anbetracht des Schiffsrahmens flogen sie in der Zeit, die das Licht brauchte, um zwischen den beiden Personen zu wechseln, eine Strecke $D_{y}$ .

Bedauerlicherweise, $D_{y}$ ist definiert als der vertikale Abstand in Bezug auf den Betrachterrahmen . Dies gilt nicht für den Schiffsspant.

Um dies etwas weiter zu erklären, lassen wir in der Relativitätstheorie bestimmte Annahmen los. Eine der Annahmen ist, dass die Zeit in allen Rahmen universell ist. Die Sache ist jedoch, dass es andere Konsequenzen gibt, sobald Sie diese Annahme loslassen.

Eine dieser Folgen ist, dass die Entfernung nicht in allen Frames gleich ist, genau wie die Zeit. Genauer gesagt, wenn sich ein Schiff in der bewegt $y$ -Achse, Länge parallel zur $y$ -Achse ist nicht in allen Rahmen gleich (obwohl Länge parallel zur $x$ -Achse ist in Ordnung).

Zurück zur Ableitung, der Ansatz ist die richtige Idee; Sie müssen nur den obigen Fehler vermeiden. Die Distanz $D_{x}$ gilt für beide Rahmen, aber $D_{y}$ gilt nur für das Beobachtersystem.

Das macht absolut Sinn. Die Entfernung, die das Schiff entlang Y zurücklegt, ist die Zeit, die das Licht für die Reise benötigt, aber nicht die Zeit im Schiffsrahmen, sondern die Zeit im Beobachterrahmen. Meine Vermutung ist also falsch. Obwohl es mich überrascht, dass die Antwort, die ich erhielt, trotz dieses Fehlers immer noch so nah an der richtigen Antwort war. Ich denke, ich frage mich, wie ich diesen "Beweis" tatsächlich reparieren kann, damit er jetzt richtig ist, ohne das Ganze neu zu schreiben (wenn möglich). Unabhängig davon scheint mir diese Antwort gültig zu sein.

Futterställe · Answer 2

Ich denke, Ihr Fehler könnte in den ersten paar Zeilen liegen. Sie setzen Ihren Abstand in Y-Richtung gleich Ihrer Geschwindigkeit in Y-Richtung multipliziert mit dem Zeitintervall, wie es von den Personen im Ruhesystem erfahren wird; sollte es nicht gleich der Y-Geschwindigkeit im bewegten Rahmen multipliziert mit der Zeit sein, die im bewegten Rahmen erlebt wird? Ich kann hier aber völlig off-base sein. Ich habe meine eigene ähnliche Ableitung durchgeführt und die richtige Antwort erhalten (der Zeitdilatationsfaktor ist derselbe wie bei Ihnen, außer dass ein negatives Vorzeichen anstelle eines positiven Vorzeichens vorhanden ist). Mein Telefon wird gerade aufgeladen, also poste ich in Kürze ein Bild der Ableitung (mein Telefon ist das einzige, womit ich ein Foto machen kann, und ich habe die Ableitung auf einem Stück Millimeterpapier gemacht). Es tut mir wirklich leid, wenn mein Schreiben schrecklich ist oder wenn es nicht ganz klar ist. Meine Schriften waren immer miserabel, In der High School habe ich einfach alles am Computer gemacht, weil niemand meine Schrift lesen konnte. Notiz; wie ein vorheriger Kommentar sagte, ist der Abstand in X-Richtung in beiden Referenzrahmen gleich, da dort die Geschwindigkeit im zweiten Rahmen rein in Y-Richtung ist. Das ist eine Annahme, wenn ich D zum Quadrat durch C zum Quadrat mal Zeit in Frame 1 (T1) zum Quadrat ersetze.

Oh danke, ich werde mir das morgen ansehen, aber es sieht in der Tat sehr ähnlich aus wie das, was ich gemacht habe.
Es ist ziemlich ähnlich. Ich werde versuchen, morgen einen mit saubererer Schrift zu machen und ihn auch zu posten.

Ableitung der Zeitdilatationsformel für die Geschwindigkeit

Jeffrey Phillips Freeman

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Jeffrey Phillips Freeman

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Jeffrey Phillips Freeman

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