Haftungsausschluss

In dieser Frage vermute ich, dass einige der verwendeten Wörter nicht präzise sind, sodass hier die Möglichkeit eines Missverständnisses besteht. Wenn Sie wissen, wie man es richtiger oder genauer sagt - EDIT! Entschuldigung im Voraus.

Vorläufe

Betrachten Sie ein Teilchen im folgenden 1D-Potentialtopf

$$U(x) = \begin{cases} 0, & x\in[0,b]\\ V, &\text{otherwise} \end{cases} \tag{*} \label{pot}$$ (1. Problem) Wenn $V<\infty$dann gibt es sowohl diskrete als auch kontinuierliche Spektren. Der diesem Problem entsprechende Hilbert-Raum ist also nicht-abzählbar-unendlich-dimensional .

(2. Aufgabe) Aber im Fall eines unendlichen Topfpotentials gibt es nur diskretes Spektrum, also ist der Hilbert-Raum abzählbar-unendlich-dimensional . Diese Hilbert-Räume sind also verschieden, nicht einmal isomorph.

Frage

Einerseits, wenn man zunimmt$V$kontinuierlich (z. B. zeitlich) in Gl.$\eqref{pot}$das erste Problem rückt in gewisser Weise dem zweiten "näher". Und wir sollten (sollten wir nicht?) schlussfolgern, dass die zweite eine Grenze für die erste ist. Aber andererseits impliziert, dass zwei Probleme gleich sind, dass ihre Hilbert-Räume gleich (vielleicht isomorph) sind. ich frage mich

Wie ist es möglich, dass sich ein Kontinuum "kontinuierlich" in eine zählbare Menge (wieder Entschuldigung) verwandelt?

Aktualisieren

Was ist mit den Energiewerten? In Anbetracht des ersten Problems gibt es sowohl diskrete als auch kontinuierliche Spektren:

$$E^{(1)} = \{E_i|i\in \mathbb{N}\}\cup\{E_\alpha|\alpha\in\mathbb{R}\}$$ So $\mathrm{card}(E^{(1)})=\aleph_1$. Das Energiespektrum im zweiten Problem besteht also nur aus diskreten Werten $\mathrm{card}(E^{(2)})=\aleph_0$. Also wie und wo verschwindet das Kontinuum wann $V$nähert sich der Unendlichkeit?