Unkomplizierte Fragen zur Berechnung von SUSY F-Termen

Der Index$i$in der potentiellen Laufzeit

$$V_F = F_i F^*_i$$ ist eine Abkürzung für einen Index, der alle chiralen Superfelder kennzeichnet. Wenn also zwei chirale Superfelder zufällig zu einem organisiert sind $SU(2)$Dublette, was der Fall ist $H_u$, wir haben immer noch verschiedene $i$für die beiden Komponenten. Tatsächlich summieren wir auch die beiden Komponenten des Dubletts.

So ein$F_iF^*_i$ist eindeutig$SU(2)$-invariant. Der$U$In$SU(2)$bedeutet einheitlich und dieses Adjektiv bedeutet genau, dass bilineare Ausdrücke wie z$F_i F^*_i$sind unter den Transformationen invariant. Also sind sie. Hier gehe ich davon aus$i$läuft über eine orthonormale Basis; es sollte.

Das Superpotential$W$selbst muss sein$SU(2)_W$-invariant und eichinvariant, was das betrifft. Die Felder in Ihrem Yukawa-Superpotential, die sich nicht trivial transformieren, sind$Q$Und$H_u$. Beachten Sie das in Ihren Konventionen auch nicht$Q$noch$H_u$wird in dem Produkt, das in erscheint, komplex konjugiert$W$. Es bedeutet, eine zu bauen$SU(2)$unveränderlich, ihre$SU(2)$Dubletten-Indizes müssen über kontrahiert werden$\epsilon^{ij}$weil es dort drüben zwei gleiche zweiwertige Indizes gibt. Wie Sie aus der Erhaltung der elektrischen Ladung erraten würden, wird die obere (elektrische Ladungs-) Komponente eines Dubletts mit der unteren (elektrische Ladungs-) Komponente des anderen Dubletts multipliziert.

Um die Antworten zu konsolidieren,

1. Ja,$i$läuft über Dubletten so$F$ist auch ein Dublett. Es hat zwei Komponenten und wir summieren$F_i F^*_i$über$i$welches ist$SU(2)$-invariant.

2. Hier ist etwas unklar, warum Sie auf dem Dolch statt auf dem Sternchen bestehen. Es kann zwei grundlegende Gründe geben. Erstens Transpositionen und Spalten-gegen-Zeilen. Sie können diskutieren, ob$F_{H_u}$was ein Dublett ist, sollte als Spalte oder Zeile geschrieben werden. Wenn Sie ein reguläres Matrixprodukt in$F^*\cdot F$, die erste sollte eine Zeile und die zweite eine Spalte sein. Jedoch,$F^*_i F_i$wird in Form von Komponenten geschrieben, sodass wir nicht wissen müssen, ob die Komponenten des Dubletts in einer Reihe oder Spalte geschrieben werden sollen – es ist eine reine Konvention, die die Formel nicht beeinflusst. Es ist also nicht notwendig, die Transposition durch zusätzliche Notation anzugeben. Alternativ können Sie bevorzugen$\dagger$weil wir letztendlich Quantenmechanik betreiben und wir wirklich die hermitische Konjugation aller Feldoperatoren meinen – ich meine von jeder Komponente des Dubletts separat. Ja, die Quantenmechanik verlangt immer$\dagger$wo die klassische Theorie eine hatte$*$aber es ist eine Konvention, die klassische Notation zu verwenden$*$die einzelnen Felder zu unterscheiden, also Konvention der klassischen Physik, auch in der Quantenmechanik. Besonders im Fall von SUSY konstruieren wir wirklich zuerst eine klassische Theorie, verwenden ihre Notation und quantisieren sie dann. Ja, alle Sternoperatoren sind wirklich hermitesch konjugierte. Beachten Sie, dass$U$ist ein Singulett, das nichts ändert.

3. Sie können überprüfen$SU(2)$Invarianz einfach durch sorgfältiges Nachverfolgen, welche Komponenten der Felder,$Q$,$H_u$ebenso gut wie$F$, als Dubletts transformieren und wie bilineare Invarianten aus Dubletts konstruiert werden. Wenn Sie dies richtig machen und die obigen Regeln befolgen, werden Sie beides sehen$W$Und$V$Sind$SU(2)$-invariant. Also ist sogar dein Quartteil offensichtlich$SU(2)$-invariant, weil es wieder eine Konstruktion der algebraischen Form ist$T_i T^*_i$für ein$SU(2)$Wams$T$.

In Bezug auf Ihren Kommentar zu unerwünschten Scheitelpunkten müssen Sie Komponentenfelder und Superpartner sorgfältig unterscheiden. Die supersymmetrischen Terme im Lagrangian erzeugen nur einige Wechselwirkungen für Quarks und andere für Squarks – und unterschiedliche Wechselwirkungen für verschiedene Kombinationen. Insbesondere ein kubisches Superpotential in$d=4$ist renormalisierbar, sodass Sie sicher sein können, dass es nur renormalisierbare Interaktionen erzeugt, wenn es in Komponenten umgeschrieben wird. In Bezug auf Ihren quartischen Term erzeugen Sie also nur einen quartischen Term in den Skalaren – Squarks – dessen Dimension „Masse“ pro Faktor ist, also die verbleibenden Dimensionen$m^4$ist immer noch perturbativ renormierbar. Es gibt keine$fermion^4$Begriffe, die Sie auf diese Weise erhalten. Stattdessen erhalten Sie selbst in der Komponentensprache Begriffe, die sich reproduzieren$W$und nicht$|W|^2$, wie Yukawa-Terme, die ein Squark mit einem Quark und Higgsino kombinieren, oder ein Higgs mit zwei Quarks (natürlich erhält man so immer noch die Massen von Quarks). Solche kubischen Terme erhält man, weil es in der supersymmetrischen Lagrangefunktion auch quadratische Terme gibt.