Unsicherheit bei Wiederholungsmessungen

Generell sollte man für Ableitungen immer alle verfügbaren Daten heranziehen. Wenn Sie so viel Glück haben, dass Sie Unsicherheitsgrenzen für Ihre wiederholten Messungen haben, bedeutet dies, dass diese Unsicherheiten auch eine Art Daten sind und idealerweise verwendet werden sollten, um die Schlussfolgerung zu verfeinern.

Was ich tun würde, ist eine gewichtete Methode zu verwenden: Wenn wir davon ausgehen, dass das Rauschen und die Unsicherheit gaußförmig sind, dann sollte Punkten mit geringer Unsicherheit ein höheres Gewicht gegeben werden als unsichereren Punkten. Siehe diese Frage und ihre Antwort . In diesem Fall wollen wir die Log-Likelihood maximieren$\log(l) = c - (1/2)\sum_i (y_i - \mu)^2/\sigma_i^2$Wo$a$ist der gesuchte Mittelwert und$\sigma_i$ist die Unsicherheit für jeden der Datenpunkte. Die Ableitung ist$-\sum_i (y_i-\mu)/\sigma_i^2$was für den gewichteten Mittelwert Null ist

Beachten Sie jedoch, dass vieles von dem Modell abhängt, das Sie verwenden. Unsicherheiten müssen nicht unbedingt gaußförmig sein.

Wir müssen hier vorsichtig sein. Angenommen, die Daten, die Sie in Ihrer Frage angeben, sind Mittelwerte und Standardabweichungen der Mittelwerte für eine Reihe von Zufallsstichproben. Das ist,$1.510 \pm 0.085$ist der Mittelwert$\pm$die Standardabweichung des Mittelwerts für eine Stichprobe, die aus mehreren Einzelmessungen besteht, 1,608 ± 0,089 ist der Mittelwert ± die Standardabweichung des Mittelwerts für eine andere Stichprobe, die aus mehreren Einzelmessungen besteht, und so weiter.

Betrachten Sie eine Reihe von$i = 1, 2, ...,k$Stichproben, die$i^{th}$Probe bestehend aus$n_i$spezifische Werte für die betreffende Zufallsvariable. Jede Probe kann eine unterschiedliche Anzahl spezifischer Werte haben. Für jede Probe werten Sie den Mittelwert und die Standardabweichung des Mittelwerts aus und geben ihn an. Der Mittelwert der$i^{th}$Probe ist$m_i = {1 \over n_{i}} \sum_{j}^{n_i} y_{ji}$Wo$y_{ji}$ist der$j^{th}$Wert in der$i^{th}$Probe. Die Standardabweichung des Mittelwerts für die$i^{th}$Probe ist$S_i = \sqrt{s_i^2 \over n_i}$Wo$s_i = \sqrt{{\sum_{j}^{n_i} (y_{ji} - m_i)^2} \over {n_i - 1} }$ist die Standardabweichung für die$i^{th}$Probe.

Die beste Schätzung für den Mittelwert ist$m_{best} = {\sum_{i = 1}^{k} m_i/S_i^2 \over \sum_{i = 1}^{k} {1 \over S_i^2}}$und die beste Schätzung für die Standardabweichung des Mittelwerts ist$S_{best} = ({\sum_{i = 1}^{k} {1 \over S_i^2}})^{-1/2}$. Du berichtest$m_{best} \pm S_{best}$für Ihr Endergebnis.

Hinweis: Die Beispielwerte bedeuten$m_{best}$und Standardabweichung$S_{best}$sind beste Schätzungen für den Mittelwert der unbekannten Populationswerte$\mu$und Standardabweichung des Mittelwerts$\sigma_{\mu}$.

(Siehe zum Beispiel den Text Data Analysis for Scientists and Engineers von Meyer für Details.)

Anders S hat Ihnen bereits eine sehr gute Antwort gegeben, aber ich möchte Ihnen zeigen, wo Sie in Ihrer Argumentation falsch gelaufen sind.

Ich berechne die sd mit der Fehlerfortpflanzungsformel, wo$Q = A+B$, Dann$dQ = (dA^2 +dB^2)^{1/2}$, und ich summiere in Quadratur für alle 5 oben gemeldeten Fehler und erhalte einen Wert von$1.596 \pm 0.168$, deutlich größer in Bezug auf Fall 1;

Dies berechnet den Fehler in der Summe Ihrer Messungen. Durch diese Methode erhalten Sie, dass die Summe Ihrer Messungen ist$7.982 \pm 0.168$.

Aber um den Durchschnitt zu erhalten, nehmen Sie diese Summe und dividieren sie dann durch die Anzahl der Messungen . Da die Anzahl der Messungen eine exakte Zahl ohne Unsicherheit ist, können Sie den Fehler im Durchschnitt erhalten, indem Sie den Fehler in der Summe durch dieselbe Zahl dividieren.

Also solltest du haben$1.596 \pm 0.036$durch diese Methode, anstatt$\pm 0.168$. Und Sie hätten Ihren Fehler im Vergleich zu einer einzelnen Messung verbessert.

Mit der Anders-Methode erhalten Sie jedoch einen noch kleineren Fehler.

Wenn Ihre Messungen normalverteilt sind (und systematische Unsicherheiten vernachlässigt werden können), können Sie den Mittelwert der Werte und die Standardabweichung des Mittelwerts (SDOM) als endgültige Unsicherheit verwenden. Es ist einfach

John Taylors „An Introduction to Error Analysis“ beschreibt dies als „die Unsicherheit in unserer besten Schätzung für x (nämlich$\overline x$) ist das ...SDOM" unter den oben genannten Bedingungen.