Unsicherheitsprinzip für Informationen?

Die Antwort von Lubos ist richtig: Information ist keine Observable, hat also keine Schwankungen in dem Sinne, dass sie in eine Unsicherheitsrelation eingehen könnten. Es besteht jedoch eine Beziehung zwischen „Informationen“ und dem Unsicherheitsprinzip, wenn auch nicht von der Art, die das OP zu erwarten scheint.

Beachten Sie zunächst, dass „Informationserhaltung“ niemals eine Erklärung für das Unsicherheitsprinzip sein kann. Information ist in der Quantenmechanik keine Erhaltungsgröße, da Messungen Teil des Formalismus sind. Messungen erzeugen definitionsgemäß eine diskontinuierliche Änderung des Informationsgehalts eines Systems in Bezug auf einen Beobachter. Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass Information trotz ihres derzeitigen modischen Status als Paradigma für das Verständnis der Physik immer noch keine physikalische Eigenschaft eines Systems ist. Vielmehr ist es eine Eigenschaft der Beziehung zwischen einem Beobachter und einem System. Die einzige Feinheit besteht darin, dass die Quantenmechanik die Menge an Informationen, die von jedem Beobachter gewonnen werden kann, grundlegend einschränkt.

Um zu verstehen, wie man diese Einschränkung quantitativ macht, müssen Sie ein wenig Quantenschätzungstheorie lernen. Ich werde hier nicht alles herleiten; Einzelheiten finden Sie in Übersichtsartikeln wie beispielsweise diesem Papier . Die Grundidee ist, dass Sie einen Parameter schätzen möchten$\lambda$von dem ein Zustand abhängt, der im traditionellen Sinne "beobachtbar" sein kann oder nicht, wird Ihre Genauigkeit durch die Cramer-Rao-Grenze begrenzt :

$$\mathrm{Var}(\lambda) \geq \frac{1}{M F(\lambda)},$$ wo $\mathrm{Var}(\lambda)$ist die Varianz der Verteilung der Messergebnisse, $M$ist die Anzahl der Messungen und $F(\lambda)$ist die sogenannte Fisher Information. Dies ist ein Ergebnis der klassischen Informationstheorie.

Wenn ein System und ein zu schätzender Parameter gegeben sind, hängen die Fisher-Informationen im Allgemeinen von der Wahl der Messungen ab. Im Quantenfall kann man es sogar noch besser machen und zeigen, dass die Fisher-Information von oben durch die Quanten -Fischer-Information begrenzt ist $H(\lambda)$, so lautet die Quanten-Cramer-Rao-Grenze

$$\mathrm{Var}(\lambda) \geq \frac{1}{M H(\lambda)}.$$ Die Fisher-Quanteninformation gibt die absolute Obergrenze für die Informationsmenge an, die ein Beobachter über den Parameter gewinnen kann $\lambda$durch Messen des Systems. Es sind die Fisher-Informationen, die der optimalen Messbasis entsprechen.

Wie hängt das mit der Unschärferelation zusammen? Spezialisieren Sie sich auf den speziellen Fall eines Systems im reinen Zustand, bei dem die Parameterabhängigkeit durch die unitäre Transformation erzeugt wird

$$|\psi(\lambda)\rangle = U_{\lambda}|\psi(0)\rangle,$$ wo $$U_{\lambda} = e^{-\mathrm{i} \lambda G},$$ und $G$ist der hermitesche Generator der unitären Transformation. Dazu gehören Szenarien wie Energie-Zeit-Unsicherheit, wo $G = \hat{H}$ist der Hamiltonoperator (Generator von Zeitübersetzungen) und $\lambda = t$ist die Wartezeit nach anfänglicher Vorbereitung des Zustands $|\psi(0)\rangle$(Ich setze $\hbar = 1$). Dann können Sie die folgende Ungleichung aus der Quanten-Cramer-Rao-Grenze ableiten: $$\mathrm{Var}(\lambda) \langle \psi(0)| G^2 |\psi(0)\rangle \geq \frac{1}{4 M},$$ was genau eine Unschärferelation ist. Beachten Sie, dass dieses Beispiel etwas künstlich ist: Die Unsicherheitsrelationen sind allgemeiner als dieses Szenario. Hoffentlich gibt Ihnen dieses Beispiel jedoch einen Vorgeschmack darauf, wie Unsicherheitsrelationen mit Konzepten aus der Informationstheorie verknüpft werden können. (Es zeigt auch, dass Energie-Zeit-Unbestimmtheitsbeziehungen nicht viel Handbewegung erfordern, um abgeleitet zu werden, wie manche Leute zu glauben scheinen.)

Eine weitere subtile Verbindung, die es wert ist, erwähnt zu werden, ist eine sehr tiefe Tatsache über die Quantenmechanik: "Informationsgewinn impliziert Störung". Dies bedeutet, dass es unmöglich ist, Informationen über ein System zu erhalten, ohne es zu stören. Je mehr Informationen gewonnen werden, desto größer ist die Störung. Weitere Informationen finden Sie in diesem Papier . Wenn Sie den Informations-Störungs-Kompromiss als grundlegendes Prinzip für die Quantenmechanik betrachten, wie in diesem kürzlich erschienenen Artikel , dann haben Sie einen heuristischen Weg, um den physikalischen Ursprung der Unschärferelation zu verstehen.

Sie suchen nach der Unschärferelation von Hirschman Beckner, beschrieben auf der Wikipedia-Seite hier . Als Hirschman der erste war, erfuhr ich davon, als ich Everetts These über die Viele-Welten-Interpretation der Quantenmechanik las, die ein Versuch ist, die Quantenmechanik mit Shannon-Informationswerkzeugen neu zu formulieren.

Das ist die Aussage des Prinzips

$$H(x) + H(p) \ge \ln(e\pi)$$

Und dass diese Ungleichung genau für Gaußsche Wellenpakete gesättigt ist. Es wurde von Hirschman vermutet und 1975 von Beckner bewiesen. Everetts These erscheint nach Hirschmans Artikel, aber es ist mir unklar, in welche Richtung das Plagiat geht, wenn überhaupt, da dies sehr wahrscheinlich eine gleichzeitige Entdeckung ist.

Everetts Argument zeigt, dass die Gaußschen lokale Minima für die Summe von sind$H(x)$und$H(p)$und gibt starke Gründe zu der Annahme, dass es sich um ein globales Minimum handelt. Dieser Glaube wird durch den strengen Beweis gerechtfertigt. Die informationstheoretische Formulierung ist aussagekräftiger als die Formulierung in Bezug auf die Varianz, denn wenn die x-Verteilung eine Summe vieler schmaler, weit voneinander entfernter Spitzen ist, ist die Impulsunsicherheit gleich der Breite der Spitzen, nicht sogar des Abstands zwischen ihnen obwohl die Gesamtvarianz der Abstand zwischen ihnen ist, nicht die Breite der Spitzen selbst.

Die Heisenbergsche Unschärferelation gilt für Observable – etwas, das mit einem Apparat gemessen werden kann und nach den universellen Regeln der Quantenmechanik durch einen linearen Operator auf dem Hilbert-Raum dargestellt wird.

Information ist aus beiden Gründen nicht beobachtbar (sie kann nicht mit einem Gerät gemessen werden; und sie ist kein linearer Operator, obwohl "der Logarithmus der Dichtematrix"$-\ln\rho$kommt dieser Beschreibung ziemlich nahe) – kann also nicht in die Heisenbergsche Unschärferelation eingehen. „Die Informationsmenge“ ist übrigens auch in der klassischen Physik etwas unsicher oder schlecht definiert – diese Unsicherheit hat also nichts mit Quantenmechanik zu tun.

Der letzte Punkt kann durch ein weiteres einfaches Argument erklärt werden. Beachten Sie, dass die Heisenberg-Ungleichung gilt$\hbar$, die reduzierte Planck-Konstante auf der rechten Seite. Es ist eine Menge, die im klassischen Limit auf Null geschickt wird. Aus unserer Sicht als großer Beobachter ist es eine kleine Zahl, weshalb die Unschärferelation auf makroskopischer Ebene ein "kleiner Effekt" ist.

Aber in den üblichen Einheiten,$\hbar$ist dimensionsbehaftet (Einheiten der Wirkung, dh Energie mal Zeit), also ist es klar, dass die Observablen auf der linken Seite auch dimensionsbehaftet sein müssen. Position und Impuls sind; Informationen (die Anzahl der Bits, eine dimensionslose Zahl) nicht. Bei der Dimensionsanalyse hat die Unsicherheit von Informationen also nichts mit Quantenmechanik zu tun.

Die bloße Behauptung, Informationen seien "fundamentaler", ist etwas spekulativ und geladen. Man kann solche "Prioritäten" erstellen und ja, was wir wissen, sind die Informationen. Solange wir jedoch das, was wir wissen, auf irgendeine greifbare Weise ausdrücken, müssen wir bestimmte Observable wie verwenden$x,p$oder der Drehimpuls usw. Erst wenn wir auf dieser Ebene angelangt sind – ob Sie es fundamental nennen oder nicht, aber Sie sollten – können wir über wohldefinierte Prinzipien wie die Unschärferelation sprechen. Es ist ein sehr grundlegendes Prinzip; es widerspricht einfach der (empirisch unbegründeten) Philosophie, dass die Information fundamentaler ist als bestimmte Observables.

Lassen Sie mich zunächst betonen, dass die Heisenbergsche Unschärferelation ein Prinzip war, als die Quantenmechanik entwickelt wurde, aber jetzt ein Satz ist , der von grundlegenderen quantenmechanischen Postulaten abgeleitet ist (es wird aus historischen Gründen weiterhin Prinzip genannt).

In Bezug auf Ihre Frage müssen Sie die relative Entropieableitung des Unschärfeprinzips mit Quantenseiteninformationen und Unsicherheitsbeziehungen aus einfachen entropischen Eigenschaften überprüfen, die kürzlich in PRL veröffentlicht wurden