Verknüpfung von Kausal- und Identitätsbeziehungen

TL;DR

Was Sie sagen können ist, dass, wenn E2 und E3 sicher sind und C E verursacht, dann C E1 verursacht.

Um zu analysieren, was vor sich geht, lassen Sie uns ein wenig über die Wahrscheinlichkeitstheorie sprechen und dann auf die Feinheiten Ihrer Frage eingehen.

Wahrscheinlichkeitstheorie

Sie wollen wissen, ob E wahr ist oder nicht. Sie wissen, dass, wenn C passiert ist, die Möglichkeit besteht, dass auch E passiert ist. Wir schreiben dies normalerweise als P(E | C) = b für eine Zahl b zwischen 0 und 1. Sie lesen diese Gleichung als „die Wahrscheinlichkeit von E bei gegebenem C ist b“. Wenn Sie also jetzt wissen wollen, mit welcher Wahrscheinlichkeit E eintritt, brauchen Sie nur die Wahrscheinlichkeit von $C$:

P(E) = P(E | C) P(C) + P(E | nicht C) ( 1 - P(C))

Beachten Sie, dass dies der Satz von Bayes ist, und es ist eine Aussage über die Korrelation , nicht über die Kausalität . Die Unterscheidung zwischen Korrelation und Kausalität anhand von Wahrscheinlichkeiten ist eine ziemlich subtile Angelegenheit. Ich werde die beiden Begriffe locker verwenden und im Allgemeinen eine Korrelation implizieren.

Jetzt gibt es einen anderen Weg, um die Wahrscheinlichkeit von $E$ zu erhalten. Sie wissen, dass $E$ eigentlich die Kombination von 2 Ereignissen ist (Sie können drei verwenden, aber so ist es klarer):

E = E_1 \wedge E_2

Wir müssen zwei Fälle unterscheiden: die Fälle, in denen die beiden Ereignisse abhängig und unabhängig sind. Ein Beispiel für den ersten Fall ist „Ich bin eine Frau namens Alex“, was die Verbindung der beiden Aussagen „Ich bin eine Frau“ und „Mein Name ist Alex“ ist. Nicht, dass diese Aussagen nicht unabhängig voneinander wären: Wenn ich weiß, dass Sie Alex heißen, könnte ich annehmen, dass Sie ein Mann sind, da die meisten Leute mit dem Namen Alex Männer sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass Ihr Name ein Mann ist, ist nicht dieselbe wie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie ein Mann sind, vorausgesetzt, Ihr Name ist Alex. Wir haben folgendes.
Ein Beispiel für unabhängige Ereignisse ist Kopf bei meinem ersten Münzwurf und Kopf bei meinem zweiten. Die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Wurf Kopf zu bekommen, beträgt 50 %, unabhängig vom Ergebnis des ersten Wurfs.
In beiden Fällen haben wir

P(E) = P( E_2 | E_1 ) P(E_1) = P(E_1 | E_2) P(E_2)

Aber nur bei unabhängigen Ergebnissen können wir schreiben

P(E) = P(E_1) P(E_2)

Ein paar Probleme mit Ihrer Frage

Sie scheinen Aussagen mit ihren Wahrscheinlichkeiten zu verwechseln. Aussagen sind Sätze, während Wahrscheinlichkeiten Zahlen sind. Es ist also bedeutungslos, E = bC zu schreiben, denn selbst wenn Sie definieren können, was das Multiplizieren einer Aussage mit einer Zahl bedeutet, wird es wahrscheinlich nicht das bedeuten, was Sie damit meinen, was stattdessen die durchaus sinnvolle Gleichung zwischen den Zahlen P(E) = ist bP(C).

Wenn Sie E = E_1 * E_2 schrieben, meinten Sie in ähnlicher Weise P(E) = P(E_1)P(E_2). Das zweite Problem hier ist, dass diese Gleichung nur gilt, wenn E_1 und E_2 unabhängig sind oder wenn einer der beiden gleich 1 ist. Lassen Sie uns eigentlich schnell beweisen, dass diese letzte Klausel wahr ist. Von früher haben wir

P(E_2 | E_1) P(E_1) = P(E_1 | E_2) P(E_2)

Aber wenn E_2 sicher ist, haben wir P(E_2) = 1. Wir haben auch P(E_2 | E_1) = 1, da E_2 auf jeden Fall passiert! Die obige Gleichung reduziert sich dann zu:

P(E_1) = P(E_1|E_2)

und somit:

P(E) = P(E_1|E_2)P(E_2) = P(E_1)P(E_2)

Endlich eine Antwort

Jetzt haben Sie zwei Gleichungen zwischen Zahlen, also können Sie Algebra darauf anwenden und erhalten:

bP(C) = P(E_1|E_2)P(E_2)

Dann, wie gesagt, wenn E_2 sicher ist, schreiben wir

bP(C) = P(E_1)

Und damit haben wir die gleiche Beziehung zwischen C und E_1, die wir am Anfang mit C und E_2 hatten.