Verschieben von Koordinaten und Rahmen in der Kosmologie

Ich habe das Buch nicht, aber wahrscheinlich verlangt der globale mitbewegte Rahmen einfach, dass sich das räumliche Gitter an jedem Punkt mitbewegt, während der lokale mitbewegte Rahmen wahrscheinlich ein Rahmen ist, bei dem sich nur der Ursprung mitbewegt. Für lokal mitbewegte Koordinatensysteme ist es sinnvoll, andere Eigenschaften zu fordern, wie z. B. das lokale Reduzieren der Metrik auf ihre Standard-Minkowski-Form, dh dass das lokal mitbewegte Koordinatensystem ein lokales Inertialsystem ist, wie es üblicherweise verstanden wird.

Für den globalen sich mitbewegenden Rahmen können wir nicht die Eigenschaft "Minkowskisierung" fordern, aber wir können andere nützliche Eigenschaften fordern, wie die Zeitkoordinate, die der Eigenzeit eines sich mitbewegenden Beobachters entspricht.

Wenn Sie sich vorstellen, dass Sie irgendwann (mit richtig gewählter Definition von "Moment", die die Symmetrie respektiert) einige räumliche Koordinaten im Universum festlegen und dass das Universum an jedem Punkt mit einigen Staubpartikeln gefüllt ist (Staubpartikel werden natürlich verwendet nur für die Vorstellung, sie sollten nicht so betrachtet werden, als hätten sie eine physische Realität). Während sich die Zeit entwickelt, bewegt sich der Staub durch die Raumzeit und der sich mitbewegende Rahmen erfordert einfach, dass jedes Staubteilchen für alle Zeiten die gleiche räumliche Koordinate hat und dass die Zeitkoordinate einfach durch die Eigenzeit des Staubteilchens gegeben ist. Um die Koordinaten des Ereignisses "Sonne wurde geboren" zu erhalten, muss man also herausfinden, welche Staubpartikel das Ereignis kreuzen, und seine räumliche Koordinate und seine Eigenzeit ablesen. In diesem Rahmen ist der Mitbewegungsabstand nicht gleich dem Eigenabstand. In der Tat,

Andererseits sind im lokalen Trägheitssystem die Koordinatenabstände die gleichen wie die richtigen Abstände, aber dann behalten die Staubpartikel, die nicht am Ursprung sind, nicht die gleichen Koordinaten entlang der Entwicklung des Universums.

Beantwortung des Kommentars

Danke für die Antwort. Es macht jetzt ein bisschen Sinn, aber ich bin immer noch ein bisschen verwirrt darüber, wie Koordinaten (sowohl Raum als auch Zeit) in der FLRW-Metrik angegeben werden. Wie ist insbesondere die Zeitkoordinate gegeben. Was ist gemeint, wenn die Raumzeit zu einem bestimmten Zeitpunkt geschnitten wird? Wir können diese Räume nur wie Hyperflächen in SR konstruieren. In GR sollten wir also in der Lage sein, für jeden lokalen Lorentz-Frame zu arbeiten, und die Zeitkoordinate sollte lokal sein. Außerdem wird jeder Beobachter seinen eigenen Raum wie eine Hyperfläche (aufgrund von Gleichzeitigkeitsproblemen) definieren. Aber die Zeitkoordinate in der FLRW-Metrik wird global angegeben. Gleiches gilt für den Raum - wie Koordinaten. Könnten Sie bitte die Antwort hinzufügen, wie genau die Koordinaten von Raum und Zeit in der FLRW-Metrik angegeben sind. Ich glaube, ich habe falsch verstanden, wie Koordinaten überhaupt angegeben werden. Wenn Sie also von Anfang an einen kurzen Überblick darüber geben könnten, wie die Koordinaten überhaupt angegeben werden (und Dinge wie, warum die Koordinatenzeit hier die richtige Zeit ist), wäre das wirklich sehr nützlich. Vielen Dank im Voraus

Nun ja, im Allgemeinen können Sie in GR keine raumartigen Hyperflächen erstellen, die die gleichen schönen Interpretationen wie in SR haben würden. Aber Sie können in GR eine "zufällige" raumartige Hyperfläche konstruieren, die keine schöne physikalische Bedeutung hat. Es ist nur eine Untermannigfaltigkeit der Raumzeit, in der jedes Ereignis räumlich voneinander getrennt ist. Darüber hinaus ist die Hyperfläche vollständig allgemein.

Erstellen Sie also in FLRW eine Menge aller räumlichen Hyperflächen, die in FLRW existieren. Nun, FLRW ist nicht irgendeine beliebige Raumzeit, es hat sehr starke Symmetrien – der Raum ist homogen und isotrop. Dies ist nicht Eigenschaft jeder raumartigen Hyperfläche, aber es ist Eigenschaft einiger. Wählen Sie eine aus und bleiben Sie dabei.

Ok, jetzt haben Sie eine raumartige Hyperfläche, nennen wir sie H , die homogen und isotrop ist. Großartig. Legen Sie dort einige Koordinaten fest. Beliebige Koordinaten reichen aus, wählen Sie einfach 3 Zahlen für einen beliebigen Punkt der Hyperfläche (wodurch einige mathematische "Konsistenz" -Eigenschaften gewährt werden, insbesondere die Koordinatenfunktion$H\rightarrow \mathbb{R}^3$muss ein Homöomorphismus sein). Wählen Sie auch einen Zeitwert für die gesamte Hyperfläche, sagen wir mal so$t_0$. Also bekam jedes Ereignis auf unserer Hyperfläche 4 Nummern$(t_0,x,y,z)$. Auch hier handelt es sich nur um Zahlen, Namen, die jedem Ereignis auf unserer Hyperoberfläche zugeordnet sind. Suchen Sie in diesen Zahlen keine physikalische Bedeutung.

Lassen Sie uns dann unsere Staubpartikel überall in der Hyperfläche fallen lassen, so dass sie keine Raumgeschwindigkeit haben (sie respektieren die Symmetrie). Jedes Staubpartikel wird durch seine 3 Raumkoordinaten eindeutig identifiziert$(x,y,z)$. Lassen Sie sie sich nun entlang der Geodäten entwickeln und stoppen Sie die Entwicklung, sobald das Staubteilchen die Zeit erreicht$t$nach eigenen Uhren. Jedes Staubteilchen reicht irgendwo in die Raumzeit und alle Ereignisse des Typs „Staubteilchen“ kommen daher$(t_0,x,y,z)$erreichte Zeit$t$seiner eigenen Uhren" bilden eine Art Teilmenge der Raumzeit. Wir können diese neuen Ereignisse mit 4 Zahlen kennzeichnen$(t,x,y,z)$. Wir können dies für jeden gültigen Wert von tun$t$und wir sagen, dass diese Zahlen Koordinaten definieren, die als globale sich bewegende Koordinaten bezeichnet werden. Zu sagen, dass dies nicht der Fall ist, aber wir können überprüfen, dass diese Zahlen aufgrund der Schönheit der FLRW-Raumzeit tatsächlich eine gültige Wahl für ein Koordinatensystem sind (dh die Funktion wird ein Homöomorphismus sein) und tatsächlich die gesamte Raumzeit eindeutig abdecken .

Wir haben also ein Koordinatensystem, das jedem Ereignis in der Raumzeit einen Namen gibt. Weil FLRW so schön ist, dass es uns das ermöglicht hat, wissen wir per Konstruktion, dass die Zeit$t$ist die richtige Zeit, dass Staubpartikel von der Hyperoberfläche kommen$t_0$Hyperfläche erreicht$t$. Wir hatten Glück, diesmal fanden wir eine schöne Interpretation für die Koordinate$t$. Natürlich ist dies nur die richtige Zeit für unsere Staubpartikel. Andere Beobachter, die der Flugbahn der Staubpartikel nicht folgen würden, würden eine andere Zeit messen. Insbesondere würde ein Beobachter, der eine gewisse Geschwindigkeit in Bezug auf Staubpartikel hat und sich daher nicht mit der Raumzeit bewegt (die Symmetrie nicht respektiert), beim Erreichen der Hyperoberfläche eine andere Zeit messen$t$.

Außerdem hat unsere Konstruktion nicht die Einstein-Synchronisation von Uhren verwendet. Wir haben nicht gefordert, dass Staubpartikel die Ereignisse auf der Hyperoberfläche berücksichtigen$t$als simultan im Sinne von SR. Tatsächlich expandiert/kontrahiert das Universum, der Raum kann gekrümmt sein und daher muss die gesamte Methode, ein Signal zu senden und auf seine Rückkehr zu warten, um die Zeit an verschiedenen Orten zu vergleichen, modifiziert werden, wenn es überhaupt angewendet werden kann. Unsere räumlichen Hyperflächen und unsere Zeit koordinieren$t$haben einfach andere Bedeutungen als traditionelle räumliche Hyperflächen und Zeitkoordinaten von SR.

Ich hoffe das hilft.