Verständnis der Beziehung zwischen Differenzierung und Integration

Question

Verständnis der Beziehung zwischen Differenzierung und Integration

Asen

Ich versuche, die Beziehung zwischen Differenzierung und Integration zu verstehen. Die Differenzierung wurde mir durch dieses Diagramm vorgestellt:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Was zeigt, dass die Ableitung eines Punktes $x$ auf einer stetigen Funktion $f(x)$ ist die Steigung einer Linie, die diesen bestimmten Punkt tangiert, wie im Diagramm gezeigt.

Dies kann geschrieben werden als

lim_{H \to 0} (\frac{F (X + H) - F (X)}{H}) = F^{'} (X)

$\lim_{h \to 0} \left(\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}\right)=f'\left(x\right)$

und dies ergibt die Steigung des Punktes $(x, f(x))$ .

Untersuchen Sie als Nächstes dieses Diagramm:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Der Bereich unter der kontinuierlichen Funktion von $f(x)$ aus $a$ Zu $x$ Ist $A(x)$ , rosa schattiert. Das Gebiet von $A(a)$ Ist $0$ und das Gebiet aus $a$ Zu $b$ Ist $A(b)$ . Nach dieser Konvention ist der Bereich von $x$ Zu $x+h$ Ist

A (X + H) - A (X)

$A\left(x+h\right)-A\left(x\right)$

Dieser Abschnitt hat mit $h$ und die Fläche ist nah an der eines Rechtecks, also kann man das sagen

A (X + H) - A (X) \approx H F (X)

$A\left(x+h\right)-A\left(x\right)\approx hf(x)$

Wenn Sie dies durch teilen $h$ Sie erhalten eine Gleichung, die zeigt, dass die Ableitung von $f(x)$ Ist $A'(x)$ .

lim_{H \to 0} (\frac{A (X + H) - A (X)}{H}) = F (X)

$\lim_{h \to 0} \left(\frac{A\left(x+h\right)-A\left(x\right)}{h}\right)=f\left(x\right)$

und daher

A^{'} (X) = F (X)

$A'(x)=f(x)$

Hier habe ich ein Problem, früher wurde gesagt, dass die Ableitung die Steigung einer Linie ist, die eine Tangente an einen Punkt einer stetigen Funktion ist. Hier haben wir jedoch eine Fläche, die viele Punkte umschließt, die keine Gerade sind, die eine stetige Funktion tangiert. Ich verstehe also nicht, wie Sie die Ableitung einer Fläche finden können, da es sich nicht um einen Punkt handelt, an dem Sie die Steigung einer Linie finden können, die eine Tangente dazu ist.?

(Bilder aus Kurstexten der Open University, Kapitel C1 & C2 des Kurses MST121).

Willie Wong

Versuchen Sie, die Kurve zu zeichnen

y = A (x)

$y = A(x)$ . Der "Bereich bisher" für jeden gegeben

x

$x$ ist eine Zahl

A (x)

$A(x)$ . Diese Funktion hat einen Graphen.

A^{'} (x)

$A'(x)$ ist genau die Steigung der Tangente an diesen Graphen.

Asen

Entschuldigung, ich verstehe das nicht ganz. Wenn

A (x)

$A(x)$ ist die Fläche unter der Funktion, wie kann ich dann zeichnen

y = A (x)

$y=A(x)$ ? Als

y = A^{'} (x) = f (x)

$y=A'(x)=f(x)$ ?

Antworten (1)

Verständnis der Beziehung zwischen Differenzierung und Integration

Versuchen Sie, die Kurve zu zeichnen $y = A(x)$ . Der "Bereich bisher" für jeden gegeben $x$ ist eine Zahl $A(x)$ . Diese Funktion hat einen Graphen. $A'(x)$ ist genau die Steigung der Tangente an diesen Graphen.
Entschuldigung, ich verstehe das nicht ganz. Wenn $A(x)$ ist die Fläche unter der Funktion, wie kann ich dann zeichnen $y=A(x)$ ? Als $y=A'(x)=f(x)$ ?

Pedro · Answer 1

Wichtig : Die Ableitung hat eine geometrische Interpretation, wie Sie sagen, aber das bedeutet nicht, dass es die Definition der Ableitung ist.

Versuchen Sie es einmal so zu sehen: Wenn wir (in Riemanns Art) integrieren, bilden wir eine "kontinuierliche Summe" aus einer stetigen Funktion $f(x)$ in Bezug auf die unendlich kleine Menge $dx$ über ein Intervall $(a,x)$ - wir nehmen das "Produkt" von $f$ Und $dx$ über die unendlich vielen reellen Werte in $(a,x)$ und "summieren" sie, um eine neue Funktion zu erhalten $F(x)$ .

Angenommen, wir definieren

F (X) = \int_{A}^{X} F (T) D T

$F(x) = \int\limits_a^x f(t) dt$

Dann können wir dies geometrisch in folgendes Diagramm eintragen:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Wir sind daran interessiert, zu finden $F'(x)$ , also konstruieren wir unsere Differenz:

lim_{Δ X \to 0} \frac{F (X + Δ X) - F (X)}{Δ X}

$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{F\left( {x + \Delta x} \right) - F\left( x \right)}}{{\Delta x}}$

Wir können diesen Ausdruck schreiben als

\frac{1}{Δ X} (\int_{A}^{X + Δ X} F (T) D T - \int_{A}^{X} F (T) D T)

$\frac{1}{{\Delta x}}\left( {\int\limits_a^{x + \Delta x} {f\left( t \right)dt} - \int\limits_a^x {f\left( t \right)dt} } \right)$

Aber mit einigen Sätzen aus der bestimmten Integration haben wir

\frac{1}{Δ X} (\int_{X}^{X + Δ X} F (T) D T + \int_{A}^{X} F (T) D T - \int_{A}^{X} F (T) D T) = \frac{1}{Δ X} \int_{X}^{X + Δ X} F (T) D T

$\frac{1}{{\Delta x}}\left( {\int\limits_x^{x + \Delta x} {f\left( t \right)dt} + \int\limits_a^x {f\left( t \right)dt} - \int\limits_a^x {f\left( t \right)dt} } \right) = \frac{1}{{\Delta x}}\int\limits_x^{x + \Delta x} {f\left( t \right)dt}$

Wir haben jetzt auch, dass wenn $f(x)$ kontinuierlich ist (was wir angenommen haben), haben wir

\frac{1}{Δ X} \int_{X}^{X + Δ X} F (T) D T = \frac{1}{Δ X} F (ξ) Δ X = F (ξ)

$\frac{1}{{\Delta x}}\int\limits_x^{x + \Delta x} {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{{\Delta x}}f\left( \xi \right)\Delta x = f\left( \xi \right)$

für einige $\xi$ In $[x,x+\Delta x]$

Jetzt das Nehmen der Grenze produziert

F^{'} (X) = lim_{Δ X \to 0} \frac{F (X + Δ X) - F (X)}{Δ X} = lim_{Δ X \to 0} F (ξ)

$F'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{F\left( {x + \Delta x} \right) - F\left( x \right)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} f\left( \xi \right)$

Aber das haben wir $\xi \in \left[ {x,x + \Delta x} \right]$ , was bedeutet, dass

lim_{Δ X \to 0} F (ξ) = F (X)

$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} f\left( \xi \right) = f\left( x \right)$

Was haben wir getan? Wir haben die ursprüngliche Funktion wiederhergestellt $f$ mit denen wir summierten $dx$ über $(a,x)$ erhalten $F(x)$ . Was sagt uns das also? Diese Differenzierung im „operativen“ Sinne kehrt den Prozess der Integration um, genauso wie die Multiplikation den Prozess der Division „umkehrt“.

Ich bin kein Lehrer oder Tutor oder ähnliches, also können Sie vielleicht bessere Antworten von solchen Leuten bekommen, aber ich hoffe, Sie verstehen, was ich erklären wollte.

Eine weitere wichtige Konsequenz daraus ist die folgende:

Wir haben das bewiesen, wenn wir eine Funktion haben $f(x)$ und definiert $F(x)$ als

F (X) = \int_{A}^{X} F (T) D T

$F\left( x \right) = \int\limits_a^x {f\left( t \right)dt}$

Dann $F'(x) = f(x)$ , das ist, $F$ ist ein Primitiv von $f$ . Aber wir wissen, dass zwei Primitive von $f$ wird sich nur durch einen konstanten Term unterscheiden, also let $G$ ein weiteres Primitiv sein. Wir haben das

\int_{A}^{X} F (T) D T - G (X) = C

$\int\limits_a^x {f\left( t \right)dt} - G\left( x \right) = C$

Aber dann setzen $x=a$ gibt

- G (A) = C

$- G\left( a \right) = C$

Wir erhalten ein neues Ergebnis. Wenn $G$ ist ein Primitiv von $f$ , dann gilt:

\int_{A}^{X} F (T) D T = G (X) - G (A)

$\int\limits_a^x {f\left( t \right)dt} = G\left( x \right) - G\left( a \right)$

@Pedro, "𝐹 ist ein Primitiv von 𝑓", gibt es dafür eine formale Definition? Wann sagen wir, dass eine Funktion ein Primitiv einer anderen ist? Tolle Antwort, übrigens!

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