Verstehen der erwarteten mittleren Anzahl von Brutzeiten

Es ist nur eine kontinuierliche Version der diskreten Berechnung. Die diskrete Version ist die (unendliche Reihen-)Summe

$$\sum_{i = 0}^\infty S^i \cdot bp$$

Addieren Sie alle (Überlebenschance zur Saison$i$) x (Brutwahrscheinlichkeit bei diesem Überleben).

Wenn Sie dies kontinuierlich machen, wird die Gleichung in umgewandelt

$$\begin{split} & \int_0^\infty bp \cdot S^i \, di \\ = \enspace & bp \int e^{i \ln S} \, di \end{split}$$

Integration gibt

$$\left.bp \cdot \frac{e^{i \, \ln(S)} }{\ln(S)} \right\vert_{0}^{\infty}$$

Bewerten gibt

$$= \frac{bp \cdot e^{-\infty} }{\ln(S)} - \frac{bp \cdot e^{0} }{\ln(S)}$$ (daran erinnern$0 <= S < 1$, So$\ln(S) < 0$)

$$= bp \cdot 0 - bp \cdot \frac{1}{\ln(S)} = bp \cdot \left(0 - \frac{1}{\ln(S)}\right) = bp \cdot \frac{-1}{\ln(S)}$$

Ich denke, deine Erklärung ist richtig. Der Erwartungswert der Exponentialverteilung ist:

$$t \sim \text{e}^{-\lambda t} \implies \langle t \rangle = \int_0^\infty t \ \text{e}^{-\lambda t} \; \text{d}t = 1/\lambda.$$

Für die exponentielle Überlebensfunktion müssen wir den Parameter identifizieren$S$. Seit$S$ist die Zahl der überlebenden Individuen nach einem Jahr, leiten wir ab:

$$S = \text{e}^{-\lambda} \implies \lambda = - \ln S.$$

Daher ist die Lebenserwartung einfach:

$$\langle t \rangle = -\frac{1}{\ln S}.$$

Da die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Jahr eine Brut stattfindet, unabhängig ist, können wir die Lebenserwartung mit der Wahrscheinlichkeit multiplizieren, dass die Brut in einem Zeitraum von einem Jahr stattfindet. Damit erhalten wir das Endergebnis:

$$\langle \# \text{ breedings} \rangle = \langle t \rangle \cdot P(\text{breeding}) = -\frac{1}{\ln S}\ P(\text{breeding}).$$