Verteilungseigenschaft des Zeitordnungssymbols

Question

Verteilungseigenschaft des Zeitordnungssymbols

Physik
Betreiber
s-Matrix-Theorie
Quantenmechanik
Quantenfeldtheorie
Korrelationsfunktionen

agc

Die meisten Ableitungen der LSZ-Reduktionsformel , zB Srednicki (Gleichungen 5.13, 5.14, 5.15), Schwartz (Gleichungen 6.17, 6.18, 6.19), Wikipedia verwenden eine Eigenschaft des Zeitordnungssymbols, die wie die Verteilungseigenschaft aussieht.

Die relevanten Schritte sind (ich verwende ein einzelnes In- und Out-Partikel, um die Ausdrücke zu vereinfachen):

\begin{aligned} ⟨ 0 | A_{2} (+ \infty) A_{1}^{†} (- \infty) | 0 ⟩ & = ⟨ 0 | T A_{2} (+ \infty) A_{1}^{†} (- \infty) | 0 ⟩ \\ = ⟨ 0 | T (A_{2} (- \infty) + \int D T_{2} \partial_{0} A_{2} (T_{2})) (A_{1}^{†} (+ \infty) + \int D T_{1} \partial_{0} A_{1}^{†} (T_{1})) | 0 ⟩ \\ = ⟨ 0 | T (\int D T_{2} \partial_{0} A_{2} (T_{2})) (\int D T_{1} \partial_{0} A_{1}^{†} (T_{1})) | 0 ⟩ \\ = \int D T_{1} D T_{2} ⟨ 0 | T A_{2} (T_{2}) A_{1}^{†} (T_{1}) | 0 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \langle 0|a_{2}(+\infty)a_1^\dagger(-\infty)|0\rangle &= \langle 0|{\rm T} a_{2}(+\infty)a_1^\dagger(-\infty)|0\rangle\\ &= \langle 0|{\rm T} \left(a_{2} (-\infty)+\int dt_{2} \partial_0 a_{2}(t_{2})\right) \left(a_{1}^\dagger (+\infty)+\int dt_{1} \partial_0 a_{1}^\dagger(t_{1})\right)|0\rangle \\ &= \langle 0|{\rm T} \left(\int dt_{2} \partial_0 a_{2}(t_{2})\right) \left(\int dt_{1} \partial_0 a_{1}^\dagger(t_{1})\right)|0\rangle \\ &= \int dt_{1}dt_{2} \langle 0| {\rm T}a_{2}(t_{2})a_{1}^\dagger(t_{1})|0\rangle \\ \end{align}$ Hier wird die Verteilungseigenschaft zweimal verwendet: zuerst, um die Leiteroperatoren dazu zu bringen, die Vakuumzustände zu vernichten (Zeile 3), und dann, um das Zeitordnungssymbol mit dem Integraloperator auszutauschen (Zeile 4).

Der letzte Ausdruck ist so, wie ich es erwartet habe: Es ist nur natürlich, dass Operatoren in der Reihenfolge angewendet werden, die durch ihr Zeitargument vorgegeben ist. Diese Eigenschaft ist jedoch alles andere als trivial, da sie auch dann funktioniert, wenn ein Operator in eine Summe von Operatoren zu unterschiedlichen Zeitpunkten zerlegt wird.

Meine Fragen sind also: Was sind die Bedingungen (z. B. welche Operatoren, wie sollten sie zerlegt werden..) Damit diese Eigenschaft gilt? Und vor allem, gibt es dafür einen Beweis?

Bearbeiten : Um zu verdeutlichen, was ich mit "Verteilungseigenschaft" meine:

\begin{aligned} ⟨ 0 | T (A_{2} (- \infty) + \int D T_{2} \partial_{0} A_{2} (T_{2})) & (A_{1}^{†} (+ \infty) + \int D T_{1} \partial_{0} A_{1}^{†} (T_{1})) | 0 ⟩ = \\ ⟨ 0 | T A_{2} (- \infty) A_{1}^{†} (+ \infty) | 0 ⟩ \\ + & ⟨ 0 | T A_{2} (- \infty) (\int D T_{1} \partial_{0} A_{1}^{†} (T_{1})) | 0 ⟩ \\ + & ⟨ 0 | T (\int D T_{2} \partial_{0} A_{2} (T_{2})) A_{1}^{†} (+ \infty) | 0 ⟩ \\ + & ⟨ 0 | T (\int D T_{2} \partial_{0} A_{2} (T_{2})) (\int D T_{1} \partial_{0} A_{1}^{†} (T_{1})) | 0 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \langle 0|{\rm T} \left(a_{2} (-\infty)+\int dt_{2} \partial_0 a_{2}(t_{2})\right) &\left(a_{1}^\dagger (+\infty)+\int dt_{1} \partial_0 a_{1}^\dagger(t_{1})\right)|0\rangle =\\ &\langle 0|{\rm T} a_{2} (-\infty) a_{1}^\dagger (+\infty)|0\rangle \\ +&\langle 0|{\rm T} a_{2} (-\infty)\left(\int dt_{1} \partial_0 a_{1}^\dagger(t_{1})\right)|0\rangle\\ +&\langle 0|{\rm T} \left(\int dt_{2} \partial_0 a_{2}(t_{2})\right) a_{1}^\dagger (+\infty)|0\rangle\\ +&\langle 0|{\rm T} \left(\int dt_{2} \partial_0 a_{2}(t_{2})\right) \left(\int dt_{1} \partial_0 a_{1}^\dagger(t_{1})\right)|0\rangle \end{align}$

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QMechaniker · Answer 1

Kommentare zur Frage (v3):

Das zeitlich geordnete Produkt von Operatoren
$\begin{matrix} (1) & T [A_{1} (T_{1}) \dots A_{N} (T_{N})] := \sum_{π \in S_{N}} θ (T_{π (1)} > \dots > T_{π (N)}) (- 1)^{ε_{π, A}} A_{π (1)} (T_{π (1)}) \dots A_{π (N)} (T_{π (N)}) \end{matrix}$ $T[A_1(t_1)\ldots A_n(t_n)] ~:=~\sum_{\pi\in S_n} \theta \left(t_{\pi(1)} > \ldots > t_{\pi(n)} \right) (-1)^{\varepsilon_{\pi,A}} A_{\pi(1)}(t_{\pi(1)})\ldots A_{\pi(n)}(t_{\pi(n)}) \tag{1}$ ist symmetrisch abgestuft. [Hier $(-1)^{\varepsilon_{\pi,A}}$ ist ein Vorzeichenfaktor im Fall von Grassmann-ungerade Operatoren.] Beachten Sie, dass das zeitgeordnete Produkt (1) nur für monolokale Operatoren definiert ist $A_i(t_i)$ , dh wenn jeder Operator $A_i(t_i)$ hängt von einer einzigen Zeit ab $t_i$ jede.
Formel (1) ist für bilokale Betreiber nicht sinnvoll $B(t_1,t_2)$ (und allgemeiner multilokale Betreiber $M(t_1,\ldots t_m)$ ), sofern sie nicht in monolokale Operatoren zerlegt werden können. Als nächstes erweitern wir die Definition (1) über Multi-Linearität . Damit ist insbesondere die zeitlich geordnete Ware gemeint $T$ erfüllt das Distributivgesetz durch Konstruktion, z
$T [A_{1} (T_{1}) \dots A_{ich} (T_{ich}) {B (T_{B}) + C (T_{C})} A_{ich + 1} (T_{ich + 1}) \dots A_{N} (T_{N})]$ $T[A_1(t_1)\ldots A_i(t_i) \left\{B(t_b)+C(t_c) \right\}A_{i+1}(t_{i+1})\ldots A_n(t_n)]$ $:= T [A_{1} (T_{1}) \dots A_{ich} (T_{ich}) B (T_{B}) A_{ich + 1} (T_{ich + 1}) \dots A_{N} (T_{N})]$ $~:=~T[A_1(t_1)\ldots A_i(t_i) B(t_b)A_{i+1}(t_{i+1})\ldots A_n(t_n)]$ $\begin{matrix} (2) & + T [A_{1} (T_{1}) \dots A_{ich} (T_{ich}) C (T_{C}) A_{ich + 1} (T_{ich + 1}) \dots A_{N} (T_{N})] \end{matrix}$ $+T[A_1(t_1)\ldots A_i(t_i)C(t_c)A_{i+1}(t_{i+1})\ldots A_n(t_n)]\tag{2}$ Wenn $t_b\neq t_c$ , dann die linke Seite von Gl. (2) hat keine eigenständige Bedeutung. Wenn $t_b=t_c$ , dann Gl. (2) folgt aus Definition (1).
Unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Analysis können wir eine Teleskopsumme betrachten :
$T [A_{1} (T_{1}) \dots A_{ich} (T_{ich}) {B (T = \infty) - B (T = - \infty)} A_{ich + 1} (T_{ich + 1}) \dots A_{N} (T_{N})]$ $T[A_1(t_1)\ldots A_i(t_i) \left\{B(t\!=\!\infty)- B(t\!=\!-\infty) \right\} A_{i+1}(t_{i+1})\ldots A_n(t_n)]$ $= T [A_{1} (T_{1}) \dots A_{ich} (T_{ich}) {\int_{R} D T \frac{D B (T)}{D T}} A_{ich + 1} (T_{ich + 1}) \dots A_{N} (T_{N})]$ $~=~ T\left[A_1(t_1)\ldots A_i(t_i) \left\{\int_{\mathbb{R}}\! dt~\frac{dB(t)}{dt} \right\} A_{i+1}(t_{i+1})\ldots A_n(t_n)\right]$ $= \int_{R} D T T [A_{1} (T_{1}) \dots A_{ich} (T_{ich}) \frac{D B (T)}{D T} A_{ich + 1} (T_{ich + 1}) \dots A_{N} (T_{N})]$ $~=~ \int_{\mathbb{R}}\! dt~T\left[A_1(t_1)\ldots A_i(t_i) \frac{dB(t)}{dt} A_{i+1}(t_{i+1})\ldots A_n(t_n)\right]$ $+ \sum_{ich = 1}^{N} \int_{R} D T δ (T - T_{ich}) T [A_{1} (T_{1}) \dots [A_{ich} (T_{ich}), B (T_{ich})] A_{ich + 1} (T_{ich + 1}) \dots A_{N} (T_{N})]$ $+\sum_{i=1}^n\int_{\mathbb{R}}\! dt~\delta(t-t_i)~T[A_1(t_1)\ldots [A_i(t_i), B(t_i)] A_{i+1}(t_{i+1})\ldots A_n(t_n)]$ $\begin{matrix} (3) & = \int_{R} D T \frac{D}{D T} T [A_{1} (T_{1}) \dots A_{ich} (T_{ich}) B (T) A_{ich + 1} (T_{ich + 1}) \dots A_{N} (T_{N})], \end{matrix}$ $~=~\int_{\mathbb{R}}\! dt\frac{d}{dt} T[A_1(t_1)\ldots A_i(t_i) B(t) A_{i+1}(t_{i+1})\ldots A_n(t_n)], \tag{3}$ was ein Distributivgesetz ergibt.
Für den erwähnten Schritt im Beweis der LSZ-Reduktionsformel kann nun die Rechnung so organisiert werden, dass die distributiven Eigenschaften (2) und (3) genügen. Neben dem Distributivgesetz gibt es noch einige andere Feinheiten in der Ableitung, wie zB Kontaktterme. Siehe zB diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Sie sagen, dass "die Berechnung so organisiert werden kann, dass die Verteilungseigenschaften (2) und (3) ausreichen": Können Sie auf ein Buch oder eine Webressource verweisen, wo dies im Detail durchgeführt wird? Die oben erwähnten Bücher erwähnen dieses Problem nicht einmal, und Weinberg gelangt mit einer anderen Methode zu der Formel. Ich akzeptiere es jedoch, da es meine Frage (die sich mit T und nicht mit LSZ befasst) vollständig beantwortet.

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