Verwirrung bei einem frontalen elastischen Stoß zweier Körper gleicher Masse

Bei elastischen Stößen müssen Sie unter anderem bedenken, dass beim Impuls auch Energie erhalten bleibt. Bei allen e<1-Kollisionen wird etwas Energie als Schall, Wärme usw. verschwendet. Stellen Sie sich nun vor, dass die beiden Objekte die gleiche Masse und Geschwindigkeit haben und sich aufeinander zu bewegen. Hier gibt es zwei praktikable Wege, um den Impuls zu erhalten, da der Anfangsimpuls null ist.

1. Die Endgeschwindigkeit beider Objekte ist 0, also ist der Nettoimpuls 0, was der von Ihnen erwähnte ist.

2. Die Geschwindigkeiten sind vertauscht. Angenommen, die Objekte bewegen sich entlang der x-Achse. Anfangs hat der Körper B-1 die Geschwindigkeit S entlang der positiven x-Achse und der Körper B-2 hat die Geschwindigkeit S entlang der negativen x-Achse. Nach dem Zusammenstoß werden die Geschwindigkeiten vertauscht, während der Impuls Null bleibt. Die Masse jedes Körpers sei M, Geschwindigkeit = S. Da Energie jedoch skalar ist und erhalten bleiben muss ( elastische Kollision ),

                                   **Initial Energy=Final Energy**.                       
   

   Lassen Sie uns auch klarstellen, dass wir es hier nur mit kinetischer Energie zu tun haben. Da die Anfangsenergie = MS^2 ist, sollte auch die Endenergie gleich MS^2 sein, was nur im zweiten Fall möglich ist. Die Geschwindigkeiten sind also vertauscht.

Voraussetzungen

Die Impulserhaltung besagt:

$$m_{1} \mathbf v_{1i} + m_{2} \mathbf v_{2i}=m_{1} \mathbf v_{1f} + m_{2} \mathbf v_{2f}$$

Wo$m_1$Und$m_2$sind die Massen der Objekte,$\mathbf v_{1i}$Und$\mathbf v_{2i}$sind die Anfangsgeschwindigkeiten und$\mathbf v_{1f}$Und$\mathbf v_{2f}$sind die Anfangsgeschwindigkeiten. In Ihrem speziellen Fall reduziert sich die Impulsgleichung auf

$$\begin{align} m\mathbf v + m (-\mathbf v) & = m\mathbf v _1 + m\mathbf v _2\\ 0&=m\mathbf v _1 +m \mathbf v _2\\ 0&=\mathbf v _1 + \mathbf v _2 \tag{1} \end{align}$$

Wo$m$ist die Masse der Objekte,$\mathbf v$ist die Anfangsgeschwindigkeit der beiden Objekte und$\mathbf v_1$Und$\mathbf v_2$sind die Endgeschwindigkeiten.

Jetzt gibt es zwei interessierende Variablen ($\mathbf v_1$Und$\mathbf v_2$), aber es gibt nur eine Gleichung. Wie Sie sehen können, kann die Impulserhaltung nicht allein verwendet werden, um die Endgeschwindigkeiten zweier kollidierender Objekte vorherzusagen. Sie müssen eine andere Einschränkung / Gleichung anwenden, die Ihnen dann bei der eindeutigen Bestimmung der Endgeschwindigkeiten hilft.

Da Sie in diesem Fall von elastischen Stößen sprechen, können wir zwei äquivalente Einschränkungen anwenden, von denen die eine die Energieerhaltung und die andere die Energieerhaltung ist$e=1$(Wo$e$ist der Restitutionskoeffizient ).

Energieeinsparung

Beachten Sie das von$(1)$,$|\mathbf v_1| = |\mathbf v_2 |$. Ab jetzt bezeichne ich die Größen der Geschwindigkeiten als$v_1$,$v_2$Und$v$. Wenn wir also die Energieerhaltung anwenden, erhalten wir

$$\begin{align} \frac 1 2 m v^2+ \frac 1 2 m v^2 &= \frac 1 2 m v_1 ^2 + \frac 1 2 m v_2 ^2\\ v^2 &= v_1^2 =v_2^2\\ |\mathbf v|&=|\mathbf v_1| = |\mathbf v_2 | \end{align}$$

Daraus folgt trivialerweise, dass die Anfangsgeschwindigkeiten ihre Richtung umgekehrt und damit die Geschwindigkeiten vertauscht haben.

Restitutionskoeffizient

Der Restitutionskoeffizient ist definiert als das Verhältnis von relativer Ablösungsgeschwindigkeit und relativer Annäherungsgeschwindigkeit. Daher

$$\begin{align} e&=\frac{|\mathbf v_1 -\mathbf v_2|}{|\mathbf v -(-\mathbf v)|}\\ 1&=\frac{|\mathbf v_1 -\mathbf v_2|}{2|\mathbf v|}\\ 2|\mathbf v|&=|\mathbf v_1 -\mathbf v_2| \end{align}$$

Da dies eine eindimensionale Kollision ist, können wir die Größe der Geschwindigkeitsdifferenz in die Differenz der Geschwindigkeitsgrößen umwandeln (mit korrekter Vorzeichenkonvention):

$$2v=v_1-v_2$$

Lösung dieser und Gleichung$(1)$liefert uns die Endgeschwindigkeiten. Auch hier würden Sie feststellen, dass sich die Anfangsgeschwindigkeiten umgekehrt und ausgetauscht haben.

Irrtum in deiner Argumentation

Der Fall, an den Sie denken, tritt ein, wenn die Kollision vollkommen unelastisch ist, was impliziert, dass der Restitutionskoeffizient Null ist.

Elastischer Stoß bedeutet Stoß ohne Verlust an kinetischer Energie. Bei dieser Kollision Collison bedeutet e=1 relative Annäherungsgeschwindigkeit=. relative Geschwindigkeit der Trennung
Wenn Sie das jetzt wissen, werden Sie es leicht verstehen

Wenn wir Formeln für die Impulserhaltung von Jungen nehmen, warum? Wie wir wissen, folgen beide Collison diesem. Lassen Sie beide Masse m)

(mu1+mu2=mv1+mv2) Wenn wir die Gleichung (u1-u2=v2-v1 ) nehmen, ist V1= (m +m)/mm)u1+ 2mu2/m+m Jetzt ist mm= o, also tendiert diese Variable gegen Null (V1 = u2)