Wohin geht der Schwung?

Es geht nirgendwo hin. Die Wand muss irgendwo anders (zum Beispiel auf dem Boden) eine Kraft ausüben, die wiederum eine äußere Kraft (wie Reibung) einleitet, die die Wand an Ort und Stelle hält, wenn der Ball sie trifft (relativ zur Erde, betrachten wir den Fall). wo sich die Erde aufgrund der Kraft unten unten bewegt).

Oft nähern wir uns jedoch physikalischen Systemen an. Betrachten Sie den Fall, in dem wir einen elastischen Stoß zwischen einer Massekugel annehmen$m$und eine viel größere Masse$M \ \gg \ m$. Wir haben:

$$mv_i \ = \ mv_f \ + \ Mv_{f2}$$

Was impliziert, dass:

$$v_{f2} \ = \ \frac{m(v_i \ - \ v_f)}{M}$$

Wir haben auch:

$$mv_i^2 \ = \ mv_f^2 \ + \ Mv_{f2}^2$$

Wir haben dann:

$$m(v_i^2 \ - \ v_f^2) \ = \ \frac{m^2(v_i \ - \ v_f)^2}{M} \ \Rightarrow \ \frac{v_i \ + \ v_f}{v_i \ - \ v_f} \ = \ \frac{m}{M}$$

Wenn wir die Grenze nehmen:

$$\lim_{M \ \rightarrow \infty} \ \frac{m}{M} \ = \ 0$$

Das heißt, wenn die Masse größer wird,$v_i \ + \ v_f \ = \ 0$, bedeutet, dass$v_i \ = \ -v_f$, und der Ball prallt mit der gleichen Geschwindigkeit zurück, mit der er kollidierte.

Daher können wir einfach annehmen, dass sich die Wand (und ich schätze die Erde, da die Wand an der Erde befestigt ist!) nicht bewegt (die Geschwindigkeit ist unglaublich klein) und dass der Impuls erhalten bleibt, indem einfach die Richtung des Balls geändert wird.

Die Wand hat eine große Masse und ist mit einer sehr großen Masse an einer Erde befestigt. Das bedeutet, dass es Schwung ohne merkliche Geschwindigkeit aufnehmen kann.

In Zahlen ausgedrückt beträgt die Masse der Erde ca$6 \times 10^{24}$kg. Eine Geschwindigkeit von 1 Mikron pro Jahr ist ungefähr$0.3 \times 10^{-13}$MS; selbst diese winzige Geschwindigkeit kann einen Impuls von absorbieren$10^{11}$.

Also, wohin geht die Dynamik

Eine Kraft ist eine Impulsübertragung. Wenn Sie also wissen wollen, wohin das Momentum geht, verfolgen Sie einfach die Kräfte.

Die Kugel übt eine Kraft in Richtung aus$v$an der Wand, sodass der Schwung des Balls in die Wand geht. Der Wandfuß übt eine Kraft in Richtung aus$v$auf der Erde, also geht der Impuls der Wand in die Erde.

Die Erde ist so massiv, dass, obwohl sie an Schwung gewinnt, die Änderung ihrer Geschwindigkeit zu gering ist, um sie zu erkennen.

Erarbeiten Sie im Detail die Impulserhaltung einer elastischen Kugel, die auf eine in die Erde eingebettete Wand trifft.

Das System umfasst sowohl die Kugel als auch die Erdwand. Wählen Sie Wand-Erde als Referenzrahmen und nehmen Sie an, dass sich der Ball nach rechts in Richtung Wand-Erde bewegt, sodass die Geschwindigkeit (konventionell) ein positives Vorzeichen hat.

Die Summe der Impulse aller Elemente im System, bezogen auf das Bezugssystem, ist vor und nach dem Aufprall konstant/unverändert.

Der Ball, mit Masse$m$und Geschwindigkeit$v$hat einen Schwung von$+mv$vor dem Aufprall, und eine Dynamik von$-mv$nach Aufprall. Denn das System hatte insgesamt eine Eigendynamik von$+mv$Vor dem Aufprall muss die Wand-Erde einen Impuls von haben$2mv$nach Aufprall.

• Hinweis: Die obige Erklärung und die folgende Gleichung sind eine Annäherung an die Realität. Dennoch veranschaulicht es das Prinzip der Impulserhaltung (bevor wir das Problem verkomplizieren und genauer lösen, indem wir auch die Energieerhaltung berücksichtigen).

$$p = mv = -mv + 2mv$$

Während die Erdwand massiv ist, ist sie nicht unendlich massiv. Wenn also der Ball die Wand-Erde trifft und zurückprallt, bewegen sich die Erde und die Wand beide mit einer endlichen, wenn auch extrem kleinen Geschwindigkeit.

Weil die Erde so groß und ihre Geschwindigkeit so klein ist, ist die Menge an Energie, die an die Erdmauer verloren geht, sehr gering. Daher nehmen wir in den meisten praktischen Situationen an, dass die kinetische Energie der Erdwand Null ist und dass die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall gleich ist$-v_{ball.initial}$. Aber tatsächlich ist die Größe der Endgeschwindigkeit des Balls,$v_{ball.final}$, ist inkrementell kleiner als$v_{ball.initial}$, seine ankommende Geschwindigkeit.

Wir können die Geschwindigkeit der Erdwand und der Kugel nach dem Aufprall berechnen, indem wir die Gleichungen sowohl der Energie- als auch der Impulserhaltung verwenden. Momentum quantifiziert den Vektoraspekt einer sich bewegenden Masse und kinetische Energie quantifiziert den skalaren Aspekt einer sich bewegenden Masse. Die Berücksichtigung sowohl des Energie- als auch des Impulsaspekts eines Systems ergibt eine zusätzliche eindeutige/nicht redundante Information über das System. Wenn wir also zwei Gleichungen haben, können wir nach zwei Unbekannten auflösen.

1) Unter Verwendung des Energieerhaltungssatzes ist die kinetische Energie des Balls vor dem Aufprall gleich der Summe der kinetischen Energie des Balls und der Erdwand nach dem Aufprall. Beachten Sie, dass Energie ein Skalar ist, also addieren wir den absoluten Wert der Energien, um die Gesamtsumme zu berechnen$KE$nach Aufprall.

$$KE = \frac {1}{2}m_{ball}v^2_{ball.initial}= \frac {1}{2}m_{ball}v^2_{ball.final} + \frac {1}{2}m_{wall-earth}v^2_{wall-earth.final}$$

2) Unter Verwendung des Prinzips der Impulserhaltung konstruieren wir eine Gleichung, eine Beziehung, um die Tatsache zu quantifizieren, dass der Gesamtimpuls vor und nach dem Aufprall gleich ist. Beachten Sie, dass der Impuls ein Vektor ist, sodass sich das Vorzeichen der Geschwindigkeit ändert, wenn sich ihre Geschwindigkeit umkehrt, und dies muss in die Gleichung aufgenommen werden, um diese wichtige Beziehungsinformation darzustellen.

$$m_{ball}v_{ball.initial} = m_{ball}v_{ball.final} + m_{wall-earth}v_{wall-earth.final}$$

Zusammenfassung: Jede physikalische Wechselwirkung gehorcht der Erhaltung von Impuls und Energie. Und jede physikalische Wechselwirkung beinhaltet/beinhaltet einen Aspekt der Umwandlung von sowohl Impuls als auch Energie im Prozess einer Kollision irgendeiner Art.

Hinweis: Wenn die Masse einer der beiden wechselwirkenden Körper ist$10$mal größer, wird seine Geschwindigkeit nach dem Aufprall in der Größenordnung von liegen$100$mal kleiner (wegen der$v^2$Beziehung zur kinetischen Energie). Wenn wir also mit planetengroßen Objekten interagieren, vereinfachen wir normalerweise unsere Berechnung, indem wir den Energie- und Impulsbeitrag des Planeten ignorieren. Um jedoch ein solides konzeptionelles Verständnis der Physik hinter allen Wechselwirkungen aufzubauen, müssen wir zumindest implizit die winzige Korrektur der Geschwindigkeit des kleineren Körpers anerkennen, die durch die Erhaltung von kinetischer Energie und Impuls erforderlich ist.

Natürlich können Probleme/physikalische Anordnungen beliebig komplex gemacht werden. Energie kann in viele Bereiche/Typen unterteilt werden, wie z. B.: kinetisch, potentiell, thermisch und Arbeit. Jede dieser Komplexifizierungen des Systems fügt einen weiteren Freiheitsgrad hinzu. Um den Endzustand nach einer Wechselwirkung quantifizieren zu können, muss für jeden weiteren Freiheitsgrad eine weitere Gleichung aufgestellt werden. Dies ermöglicht es uns, die Beziehung zwischen den Vorher-Nachher-/Anfangs-Endzuständen zu spezifizieren und ein erwartetes quantitatives Ergebnis zu berechnen.

Tolle Antworten von den anderen Postern - der "verlorene" Schwung wird tatsächlich durch einen winzigen Rückstoß der Wand und der Erde konserviert.

Die folgenden Beobachtungen könnten Sie auch interessieren.

Grob gesagt, wenn Objekte interagieren, werden Impuls und Energie so zwischen ihnen übertragen, dass ihr kombinierter Impuls und ihre kombinierte Energie gleich bleiben.

In einem einfachen Fall, in dem zwei Körper mit identischer Masse kollidieren, ist die Auswirkung der Impulsübertragung auf ihre Geschwindigkeit dieselbe - ein Körper wird langsamer und der andere um den gleichen Betrag beschleunigt. (Die Frage, welcher Körper an Schwung gewinnt und welcher an Schwung verliert, hängt übrigens davon ab, in welchem ​​Bezugsrahmen die Kollision modelliert wird.)

Wenn die beiden Körper unterschiedliche Massen haben, ist die Auswirkung der Kollision auf ihre Geschwindigkeiten umgekehrt proportional zu ihren Massen – die Geschwindigkeit des leichteren Körpers ändert sich stärker als die Geschwindigkeit des schwereren. In einem Extremfall, wie z. B. einem Ball, der auf den Boden springt, ist die Geschwindigkeit des Rückstoßes der Erde vernachlässigbar.

Bei Stößen wird auch kinetische Energie übertragen. Da die KE-Änderung proportional zu einer Geschwindigkeitsänderung im Quadrat ist, werden Sie sehen, dass im Falle eines Ballaufpralls auf der Erde effektiv kein KE vom Ball auf die Erde übertragen werden kann, wie es das Quadrat der Rückstoßgeschwindigkeit der Erde ist verschwindend klein.

Aus diesen Ideen sollten Sie erkennen können, dass bei einem Frontalzusammenstoß zwischen zwei Körpern die Impulsübertragung minimiert wird, wenn sie die gleiche Masse haben, aber die Übertragung von KE maximiert wird.

Der übersehene Rückstoß der Erde spielt bei allen alltäglichen Phänomenen mit bewegten Massen eine Rolle. Wenn Sie beginnen, die Straße entlang zu gehen, gewinnen Sie an Schwung, und die Erde verliert beim Zurückprallen durch den Schub Ihres Schrittes den gleichen Betrag.