Wärmeausdehnung von Flüssigkeit und Glasrohr

Ich bin etwas verwirrt über die Wärmeausdehnung in dem Fall, in dem sich sowohl eine Flüssigkeit als auch der Behälter ausdehnen. Ich werde eine Beispielsituation beschreiben, um das Problem aufzudecken.

Betrachten Sie ein zylindrisches Glasrohr (linearer Wärmeausdehnungskoeffizient a ), die Flüssigkeit enthält (Wärmeausdehnungskoeffizient des Volumens β ). Die Höhe des Rohres ist H T , 0 und die Höhe der Flüssigkeit darin ist H l , 0 . Wenn sich die Temperatur um einen Betrag ändert Δ T Wie hoch ist die neue Flüssigkeitshöhe? Wenn das zylindrische Rohr mit einer Messskala versehen ist, wie groß ist die neue Flüssigkeitshöhe, die von der Skala aus gemessen wird?

Die Beziehung, die ich verwenden würde, ist

Δ v v 0 ≈ Δ H H 0 + Δ A A 0
Wovon kommt
( v 0 + Δ v ) = ( H 0 + Δ H ) ⋅ ( A 0 + Δ A )
Vernachlässigung von Termen höherer Ordnung.

Um die neue "absolute" Höhe der Flüssigkeit zu finden, würde ich einfach die Volumenänderung berücksichtigen Δ v l = v l , 0 β Δ T , und dann die Änderung in der Fläche des Zylinders Δ A T = A T , 0 2 a Δ T . Dann würde ich schreiben

Δ H l H l , 0 = Δ v l v l , 0 − Δ A T A T , 0 = ( β − 2 a ) Δ T

Also eigentlich würde ich in diesem Fall die Höhenänderung der Röhre nicht berücksichtigen, da ich nach der absoluten Höhenänderung der Flüssigkeit suche.

Um die neue Flüssigkeitshöhe "relativ zum Rohr" zu erhalten, würde ich die "relative Volumenänderung" berücksichtigen.

Δ v l , R e l A T ich v e = Δ v l − Δ v T = ( v l , 0 β − v T , 0 3 a ) Δ T

Hier ist mein Hauptzweifel: Berücksichtigt diese "relative" Änderung bereits die Tatsache, dass sich sowohl die Fläche als auch die Höhe der Röhre ändern ? Wenn ja, kann ich unter Berücksichtigung dieser "relativen Änderung" schreiben

Δ H l , R e l A T ich v e H l , 0 = Δ v l , R e l A T ich v e v l , 0

Denn "relativ zum Rohr" kann sich nur die Höhe der Flüssigkeit ändern und die Grundfläche ist "konstant" (tatsächlich ist die Flächenänderung der Flüssigkeit gleich der des Rohres).

Von dieser letzten Überlegung bin ich nicht sehr überzeugt.

Sind diese beiden Prozesse korrekt oder gibt es Fehler (konzeptioneller oder anderer Art) ? Jeder Vorschlag wird sehr geschätzt

Ich glaube, Sie haben einige Additionen anstelle von Multiplikationen geschrieben, zum Beispiel ist die zweite Gleichung in den Einheiten inkonsistent

Antworten (1)

Die Antwort hast du schon beim Schreiben

Δ H H = ( β − 2 a ) Δ T
Was Sie danach tun, ist unnötig und macht keinen Sinn. Sie haben bereits gesagt, dass die Höhe des Röhrchens irrelevant ist, daher ist die Höhe der Flüssigkeit "relativ zum Röhrchen" bedeutungslos.

Wenn die Flüssigkeit das Röhrchen anfangs vollständig ausfüllt und Sie wissen möchten, wie viel Flüssigkeit austritt, verwenden Sie

Δ v v = ( β − 3 a ) Δ T

Als Antwort auf Ihren Kommentar:

Ich denke, Sie versuchen, den neuen Volumenwert der Flüssigkeit auf der Skala auf dem Röhrchen zu berechnen. Dazu sollten Sie die gleiche Formel (für Volumen) verwenden, die in Einheiten von gekennzeichnet ist C C oder C M 3 . Also wenn das Ablesen auf der Waage anfangs war v 0 cc wird dann nach Ausdehnung der Flüssigkeit und des Glasröhrchens abgelesen v 1 cc wo

v 1 − v 0 = v 0 ( β − 3 a ) Δ T .

Danke für die Antwort! Eigentlich wollte ich nur im ersten Punkt die Höhenänderung des Rohres vernachlässigen. Beim zweiten Punkt vernachlässige ich nicht die Ausdehnung des Rohres (insbesondere Höhenänderung). Die Formel für den zweiten Punkt in meiner Frage unterscheidet sich nicht wesentlich von Ihrer zweiten Formel
Δ H l , R e l = ( β ⋅ H l , 0 − 3 a ⋅ H T , 0 ) Δ T
Der Unterschied besteht darin, dass es zwei (evtl. unterschiedliche) Höhen von Schlauch und Flüssigkeit gibt. Kann diese Formel stimmen, wenn ich die Höhenänderung des Rohres nicht vernachlässige?
Vielen Dank für die Ergänzung Ihrer Antwort, das versuche ich zu tun! Ich habe die Formel verstanden, aber mein Zweifel lag darin, den Fall zu betrachten, in dem v 0 , l (anfängliches Flüssigkeitsvolumen) ist nicht dasselbe wie v 0 , T (Anfangsvolumen des Röhrchens) (was auch bedeutet, dass die Anfangshöhen unterschiedlich sind, oder mit anderen Worten, die Flüssigkeit füllt das Röhrchen anfänglich nicht vollständig aus). In diesem Fall halte ich es nicht für richtig, die (relative) Volumenänderung des Röhrchens als zu bewerten v 0 , l 3 a Δ T , seit v 0 , l ≠ v 0 , T aber ich würde sagen v 0 , T 3 a Δ T . Wäre das sinnvoll?
In meiner Antwort v 0 ist das Volumen der Flüssigkeit, wie es von der Skala auf dem Röhrchen angezeigt wird, also per Definition v 0 , l = v 0 , T . v 1 ist der neue Volumenmesswert gegenüber dem Flüssigkeitsspiegel nach Ausdehnung der Flüssigkeit und des Schlauchs. Dies setzt (natürlich) voraus, dass die Flüssigkeit nicht aus dem Rohr schwappt. v 0 Und v 1 sind nicht die Volumina der Röhre, die viel größer sein könnten - wie viel größer ist irrelevant.
Wärmeausdehnung von Flüssigkeit und Glasrohr
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