Wärmepumpen und COP?

Tatsächlich beschreibt die in Ihrer Frage angegebene Formel den thermischen Wirkungsgrad$Nth$eines Geräts, normalerweise einer Wärmekraftmaschine, die Wärmeenergie in mechanische Energie umwandelt, und es ist immer:$Nth<1$.

Andererseits$COP$oder Leistungszahl ist das Verhältnis$Q/W$des Geräts namens Wärmepumpe, wo$Q$wird die Wärme aus dem Kältereservoir abgeführt und$W$die zum Abführen dieser Wärme erforderliche Aufwandsarbeit (meist elektrische Energie).

Für eine Wärmepumpe, die mit maximaler theoretischer Effizienz (d. h. Carnot-Effizienz) arbeitet, kann gezeigt werden, dass:$COP=Q/W=Thot/(Thot-Tcold)$.

Da Wärmepumpen keine Energieform in eine andere umwandeln, sondern tatsächlich Wärme von einem kalten Reservoir zu einem heißen Reservoir übertragen, kann und hat COP einen viel höheren Wert als$1$.

Beachten Sie auch, dass die$COP$Der Begriff wird üblicherweise verwendet, um die Leistung einer Wärmepumpe zu beschreiben, wenn sie im Heizmodus betrieben wird.

Nun zu Ihrer Frage: Gehen wir mal davon aus, dass eine Wärmepumpe in Betrieb ist$Tcold=273K$Und$Thot=290K$So$ΔΤ=17K$Und$COP=290/17=17.06$

Nehmen wir nun an, dass dasselbe Gerät gleichzeitig arbeitet$ΔΤ=17K$aber die Reservoirtemperaturen sind 10 Grad höher. In diesem Fall$COP=300/17=17.67>17.06$.

Dies bedeutet, dass unser Gerät effizienter ist, wenn die Temperatur des kalten Reservoirs höher ist (im Heizmodus), was erwartet wird, da es physikalisch schwieriger ist, Wärme aus einer kälteren Reservoirumgebung zu „pumpen“ oder zu entfernen.

Es ist offensichtlich, dass die COP-Leistung eines bestimmten Geräts von den Umgebungsbedingungen abhängt und sein Wert normalerweise zwischen 2,5 und 5 variiert

Wenn Sie sich die Funktionsweise der Wärmepumpe genau ansehen, folgt sie dem umgekehrten Carnot-Zyklus. Wie Sie wissen, erklärt sich der Carnot-Zyklus aus dem Kolben und seiner Wechselwirkung mit Quellen- und Senkenplatten. Wenn der Kolben auf einem Senkständer platziert und isotherm expandiert wird, wird die Wärme von der Senke auf den Kolben übertragen, dann wird der Kolben adiabatisch komprimiert, so dass seine Temperatur auf die Quellentemperatur ansteigt. Dann wird es auf einen Quellenständer gestellt und isotherm komprimiert, so dass die überschüssige Energie zur Quelle übertragen wird (zum Heizen im Raum), dann wird es adiabatisch expandiert, um den ursprünglichen Zustand zu erreichen.

Bei diesem Vorgang wird nun bei niedriger Temperatur der Senke weniger Energie von der Senke auf den Kolben übertragen. Wenn die Quellentemperatur hoch ist, muss während der adiabatischen Kompression mehr Arbeit geleistet werden, um die Kolbentemperatur auf die Quellentemperatur zu erhöhen. In beiden Fällen sinkt der Leistungskoeffizient (COP).

Gemäß diesem hyperphysikalischen Artikel über Wärmepumpen wird der COP angegeben durch

Das ist nicht ganz die Gleichung, die Sie angegeben haben (eigentlich ist es das Gegenteil).

Einmal könnte man sich die Frage stellen: Wenn ich entweder die hohe oder die niedrige Temperatur um 1 Grad ändere, welche davon wird den COP-Wert am meisten ändern?

Wenn Sie senken$T_C$um 1°C wird der Nenner um 1 Grad größer und der Zähler bleibt unverändert. Wenn Sie erhöhen$T_H$um 1°C wird der Nenner größer, aber auch der Zähler. Das Verhältnis ändert sich weniger, als wenn sich nur der Nenner ändert.

Sie können dies mathematisch sehen, indem Sie die partielle Ableitung in Bezug auf jeden nehmen (was ich Ihnen als Übung überlassen werde).

Es ist also offensichtlich, dass der COP empfindlicher auf die Temperatur des kalten Reservoirs reagiert.