Wann kann ein Hilbert-Raum mit einem gegebenen Hamilton-Operator in nicht-wechselwirkende Tensorproduktfaktoren zerlegt werden?

Nehmen wir an, ich habe einen Hilbert-Raum H (entweder endlichdimensional oder mit abzählbar unendlicher Basis) mit einem bestimmten Hamilton-Operator H ^ , die ein Quantensystem darstellt. Unter welchen Bedingungen kann ich in Tensorproduktkomponenten faktorisieren, dh Hilberträume finden? H 1 Und H 2 so dass

H = H 1 ⊗ H 2

und Hamiltonianer H ^ 1 Und H ^ 2 so dass

H ^ = H ^ 1 ⊗ 1 + 1 ⊗ H ^ 2 ?

Die Idee ist, herauszufinden, ob ein Quantensystem in zwei nicht interagierende Teilsysteme zerlegt werden kann.

Für einfache Fälle wie den Versuch, einen 4D-Hilbert-Raum in zwei Qubit-Systeme zu zerlegen, kann ich Gleichungen für Matrixelemente von aufschreiben H ^ in Bezug auf Matrixelemente von H ^ 1 Und H ^ 2 willkürlich, um zu sehen, wann sie lösbar sind, aber ich frage mich, ob es eine allgemeinere Theorie für größere Systeme mit einer gewissen physikalischen Intuition dahinter gibt.

(Bearbeiten: Ich sollte auch darauf hinweisen, dass die Wahl der Basis bei der Entscheidung, ob Sie dies tun können oder nicht, von Bedeutung ist, daher gehe ich davon aus, dass Sie eine zusätzliche Struktur bereitstellen müssen, damit diese Frage gut definiert ist. Zum Beispiel wie I Verstehen Sie, dass dieser Aufsatz diskutiert, welche Struktur für eine Faktorisierung eines Hilbert-Raums in Tensorprodukte benötigt wird, und schlägt vor, dass man eine Sammlung von Unteralgebren von Observablen auswählen sollte, die bestimmte Axiome erfüllen, um eine basisunabhängige "Tensorproduktstruktur" zu definieren) .

Ich dachte, ich wäre vor einigen Monaten beim Stöbern in der Literatur nach Informationen zu einem anderen Thema auf ein Papier gestoßen, in dem diese Art von Problem behandelt wurde, aber leider kann ich mich nicht an genügend Informationen über das Papier erinnern, das ich gesehen habe, um es wieder oder auch nur richtig zu finden Schlüsselwörter, nach denen gesucht werden kann, falls "Tensorproduktfaktorisierung" nicht die richtige Terminologie für das ist, was ich versuche.

Ich wäre auch daran interessiert, Antworten auf Verallgemeinerungen dieser Frage zu erfahren, bei denen die beiden Teilsysteme miteinander interagieren dürfen, aber nur schwach, mit so etwas wie H ^ = H ^ 1 ⊗ 1 + 1 ⊗ H ^ 2 + H ^ int

für eine Interaktion H ^ int das ist in gewissem Sinne "klein".

Antworten (2)

Dies ist genau dann möglich, wenn das Spektrum des Hamiltonoperators (einschließlich Vielfachheiten von Eigenwerten) als Summe zweier anderer Spektren geschrieben werden kann. Es kommt also nicht auf eine Basis an.

Ich habe ein kleines Problem mit der Formulierung Ihrer Antwort. Nach meinem Verständnis hängt das Spektrum eines linearen Operators nicht von einer Basis ab. Niemals. Also, was bedeutet dein letzter Satz? Außerdem: Haben Sie einen Hinweis auf einen Beweis?

Die Antwort von jjcale macht es richtig. Aber lassen Sie mich etwas näher darauf eingehen. Sie haben im Grunde gefragt:

Wann können wir angesichts eines abstrakten Hamilton-Operators den Hilbert-Raum so faktorisieren, dass der Hamilton-Operator in Bezug auf diese Wahl der Freiheitsgrade nicht interagiert ?

Dies ist eine interessante Frage, weil wir fragen, welche Hamiltonoperatoren eine besonders einfache Beschreibung in Bezug auf nicht wechselwirkende Teile haben.

Wo dies möglich ist, können Sie die Hamiltonianer explizit charakterisieren, indem Sie die notwendigen und hinreichenden Bedingungen in ihren Spektren spezifizieren: das ist die Antwort von Jjcale. Natürlich werden nur sehr spezielle Hamiltonianer diese Eigenschaft haben.

In der Zwischenzeit könnten Sie die allgemeinere Frage stellen:

Wann können wir angesichts eines abstrakten Hamilton-Operators den Hilbert-Raum so faktorisieren, dass der Hamilton-Operator lokal in Bezug auf diese Wahl der Freiheitsgrade interagiert?

Die Antwort auf diese allgemeinere Frage ist wiederum, dass nur spezielle Hamiltonianer diese Eigenschaft haben. Das heißt, nur ganz spezielle Hamiltonoperatoren erlauben eine Faktorisierung des Hilbertraums, so dass der Hamiltonoperator wie eine Summe lokaler Wechselwirkungsterme aussieht. Die interessantere Frage wird dann: Wenn ein Hamiltonoperator eine solche Faktorisierung zulässt, ist er dann eindeutig? Die Antwort lautet im Wesentlichen „Ja, meistens“.

Ja, hier mache ich einen Plug: Meine Co-Autoren und ich gehen dieser Frage in „ Lokalität aus dem Spektrum “ nach.

Wenn Sie also einen abstrakten Hamilton-Operator haben, der eine Tensorfaktorisierung des Hilbert-Raums ermöglicht, sodass der Hamilton-Operator lokal aussieht, ist diese Faktorisierung normalerweise eindeutig und gibt Ihnen so etwas wie eine bevorzugte Basis, bei der der Hamilton-Operator lokal ist.

Wann kann ein Hilbert-Raum mit einem gegebenen Hamilton-Operator in nicht-wechselwirkende Tensorproduktfaktoren zerlegt werden?
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