Tensorproduktzustände in QM

In der QM verwenden wir Tensorprodukte, um den Vektorraum der Zustände eines Mehrteilchensystems zu konstruieren – aber diese Konstruktion scheint kein Gegenstück in der klassischen Mechanik zu haben. In der QM scheint es erforderlich zu sein, verschränkte Zustände darstellen zu können.

Wird es als „Postulat“ betrachtet, wie die Zustände von Mehrteilchensystemen in der QM dargestellt werden können? Ist es richtig, dass es kein Äquivalent in der klassischen Mechanik gibt, wo wir uns damit begnügen, direkte Summen von Vektorräumen zu verwenden?

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Ja, das ist eines der Postulate der Quantenmechanik. Siehe zum Beispiel Abschnitt 2.2 von Nielsen und Chuang, Quantum Information and Quantum Computation , wo dies Postulat 4 ist.

Das Tensorproduktpostulat ist keineswegs unvereinbar mit der klassischen Mechanik. Betrachten Sie zwei Teilchen an R 3 . In der Quantenmechanik ist der Zustandsraum für beides

H = L 2 ( R 3 ) ⊗ L 2 ( R 3 ) ≅ L 2 ( R 6 ) .
Wenn wir den klassischen Grenzwert nehmen, den Hilbert-Raum L 2 ( R N ) gibt den Konfigurationsraum R N , Und
R 3 ⊕ R 3 = R 6 .
Das heißt, die Regel zum Kombinieren von Konfigurationsräumen in der klassischen Mechanik ist nur eine Grenze der Quantenregel, sie wird nicht unabhängig gewählt.

Als Postulat würde ich das ehrlich gesagt nicht werten. Wenn der Konfigurationsraum aus zwei gegebenen Teilchen besteht C = C 1 × C 2 dann kann der entsprechende Zustandsraum berechnet werden L 2 ( C ) = L 2 ( C 1 × C 2 ) = L 2 ( C 1 ) ⊗ L 2 ( C 2 ) . Es ist auch nicht nötig, sich auf eine klassische Grenze zu berufen - es ist nur der richtige Hilbert-Raum, der dem üblichen klassischen (kombinierten) Konfigurationsraum entspricht.
@EmilioPisanty Sicher, ich nehme an, es kann in beide Richtungen gehen!
@EmilioPisanty - Mit "Postulat" meinte ich, dass jemand entscheiden muss, wie die Räume einzelner Partikel richtig kombiniert werden, um den richtigen Raum für das kombinierte System zu erhalten. Wenn wir verschränkte Zustände nicht berücksichtigen müssten (wenn dieses Phänomen nicht existierte), hätten wir uns dafür entscheiden können, den Raum des kombinierten Systems mit a darzustellen ⊕ eher als ein ⊗ ?
@Frank Das wäre nicht mit den vorherigen Postulaten vereinbar. Wenn Sie koppeln, ist der Hilbert-Platz L 2 über den klassischen Konfigurationsraum" und "den Konfigurationsraum zweier Systeme mit Konfigurationsräumen C 1 Und C 2 Ist C = C 1 × C 2 , genau wie in der klassischen Physik“ (an sich eine völlig unumstrittene Behauptung), dann erhalten Sie natürlich einen Tensorprodukt-Zustandsraum (als Theorem) und Sie erhalten natürlich eine Verschränkung. Wenn Sie auf einer Vektorsumme von Zustandsräumen bestehen, Sie bekommen, dass zB der Zustandsraum eines Partikels in 2D nicht ist L 2 über R 2 .
Es klingt also so, als ob die Verschränkung aus dem ersten von Ihnen angegebenen Postulat ("der Hilbert-Raum ist L2 über dem klassischen Konfigurationsraum") "stammt", da sich das zweite bereits in der klassischen Physik befindet, die keine Verschränkung hat. Das erste Postulat verlangt ⊗ für Konsistenz, und das erzwingt die Existenz von Verschränkung?
Vielen Dank für Ihre Antwort und den Hinweis Niels und Chuang! Die Frage beschäftigt mich auch schon länger. Das Erstaunliche ist, dass die meisten QM-Autoren, die „QM-Postulate“ auflisten, es nicht enthalten, einige andere tun es.

Ich denke, dass die Verwendung des Tensorprodukt-Vektorraums, der durch das Tensorprodukt von Zustandsvektorräumen von Subsystemen erzeugt wird, ein eigenständiges Postulat ist, das zu den anderen Postulaten der QM hinzugefügt wird.

PS: Ich habe es zum Beispiel als eigenständiges Postulat gefunden in: Valter Moretti, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics: An Advanced Short Course, 2016. Der Autor nimmt auch am Physik-Stackexchange teil.

PPS: Ich habe hier eine verwandte Frage gefunden . Ob die Antwort jedoch behauptet, dass dies ein Postulat ist, scheint nicht klar zu sein.

Ich habe einen Link zu einem Artikel von @Valter Moretti hinzugefügt, wo dies als Postulat von QM aufgeführt ist.

Das grundlegende Postulat ist folgendes: Die Beschreibung eines Systems ist der Satz von Wahrscheinlichkeitsamplituden für jedes mögliche Messergebnis des Systems.

Wenn ein klassisches System aus zwei Teilkomponenten besteht, von denen jede N mögliche Messergebnisse zulassen kann, dann können wir das System mit 2N Werten beschreiben.

Wenn andererseits ein Quantensystem aus zwei Teilkomponenten besteht, von denen jede N mögliche Messergebnisse zulassen kann, benötigen wir N x N Werte, einen für jede mögliche Kombination einzelner Systemergebnisse.

Stellen Sie sich ein System vor, das aus zwei unterscheidbaren Kugeln besteht, von denen jede rot, grün oder blau ist. Wir könnten zum Beispiel den Zustandsvektor einer Kugel als diese Wahrscheinlichkeitsamplituden angeben:

Rot = 0,70

Grün = 0,57

Blau = 0,41

so dass die Wahrscheinlichkeiten (die quadrierten Wahrscheinlichkeitsamplituden) jeder Farbe rot sind, 0,5; grün, 0,33; blau, 0,17.

Für das Zweikugelsystem würde die klassische Beschreibung einfach aus drei Amplituden für jede Kugel bestehen.

Aber in QM müssten wir, um den Zustand des Zwei-Ball-Systems zu spezifizieren, einen Wert für jede der 3 x 3 = 9 Kombinationen von Ergebnissen spezifizieren, zum Beispiel:

rot, rot = 0,33

grün, grün = 0,33

blau, blau = 0,33

rot, grün = 0,33

grün, rot = 0,33

rot, blau = 0,33

blau, rot = 0,33

grün, blau = 0,33

blau, grün = 0,33

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